Operaciones Vectoriales

Operaciones vectoriales

• Módulo de un vector

El módulo de un vector representa su longitud. Se calcula como la raiz cuadrada de la suma de sus componentes elevadas al cuadrado.

En R2 se calcula como:

En R3 se calcula como:

• Producto de un vector por un escalar

El producto de un escalar por un vector, teniendo en cuenta la propiedad distributiva, nos da:

m A = m(AxI + AyJ + AzK) = mAxI + mAyJ + mAzK

Así que las componentes del producto son:

mAx, mAy, mAz.

• Suma y resta de vectores

La suma de vectores, por definición, satisface la regla del paralelogramo (ley de composición). La suma de A y B, con un origen común O, es el vector C, diagonal del paralelogramo que tiene por lados A y B. La suma vectorial es una suma geométrica, de modo que los módulos cumplen, C = A ± B, solo cuando los vectores A y B son paralelos.

Para sumar varios vectores se puede usar, sucesivamente, la regla del paralelogramo; pero es más breve utilizar el método del polígono. Para ello basta hacer coincidir el extremo de un vector con el origen del siguiente, formando una línea poligonal. El origen del primer vector con el extremo del último determina el vector suma o resultante. La figura formada por los vectores y su suma se llama polígono vectorial. Si A, B, C y D son los sucesivos vértices de un polígono vectorial, se tiene:

AB + BC + CD = AD.

Si en la construcción del vector suma coinciden el punto final y el inicial, la suma de los vectores es el vector nulo. Así, si D = A:

AB + BC + CD = AA = 0

• Producto escalar

El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Expresión analítica del producto escalar:

• Producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:

El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:

Aplicaciones del método vectorial

• ECUACION DE LA RECTA:

La recta del espacio que pasa por el punto P1(X1,Y1,Z1) es el lugar geométrico de los puntos P(X,Y,Z) tales que el vector P-P1 es paralelo a un vector V = aI + bJ + cK

Se tiene:

Donde k es la medida de P-P1 tomando V como unidad. Multiplicando por I, J, K y eliminando k, que es la ecuación de la recta en coordenadas

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