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TABLA DE CONTENIDO

Pág.

INTRODUCCIÓN

JUSTIFICACION

OBJETIVOS

general

específicos

MARCO TEORICO

máximo absoluto

mínimo absoluto

determinación del peso de una viga y/o columna de madera

PROBLEMA

SOLUCION TEORICA DEL PROBLEMA

CONCLUSIONES

RECOMENDACIONES

BIBLIOGRAFIA

ANEXOS

INTRODUCCION

Se realizará este proyecto con el fin de comprobar que las formulas de aplicación en el tema de derivadas se puede llevar a la práctica; para esto tenemos un ejercicio que debemos desarrollar teniendo en cuenta que solo tenemos que aplicar lo visto en clase, el ejercicio consiste en comprobar el momento flector máximo que tiene una Viga de madera al estar sometido al peso de un ladrillo.

Hacemos esto para demostrar que lo que vemos en cálculo diferencial en verdad no se puede quedar plasmado en los libros sino que esto también lo podemos llevar a la solución de problemas tanto en la teoría como en la práctica, y comprobarlo para saber de qué forma lo podemos aplicar en nuestra vida como ingenieros.

JUSTIFICACIÓN

Se quiere realizar esto para demostrar a los lectores que el cálculo es una ciencia aplicable para nuestra vida solución para la solución de problemas en especial para muchas de las actividades que en nuestra vida diaria se presenta y que no sabemos cómo resolverla a pesar de que tenemos bases de esto pero no sabemos cómo aplicarla ante estas dificultades, nuestra función es dar bases de cómo podemos resolverlo y en este documento se presentará.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL:

Encontrar el momento flector máximo y lograr el desarrollo del ejercicio.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

Aplicar la teoría vista en el área de cálculo diferencial a la práctica en un ejercicio con modelo y comprobación.

Realizar una correcta aplicación de las fórmulas de derivadas para llevar a cabo un proceso correcto al aplicarlo en el modelo físico que se presentara.

Representar el modelo físico con un tamaño apropiado para la representación de la teoría empleada.

MARCO TEÓRICO

Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

a = 0

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

b = 0

Máximo y mínimo relativo

Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.

Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

a = 3.08 b = -3.08

NOTA: los valores extremos absolutos NO se restringen a un intervalo (por eso son absolutos), se supone que son los extremos en todo el dominio de la función. Los extremos relativos sí son extremos en un intervalo específico.

EJEMPLO DE APLICACIÓN DE MAXIMOS Y MINIMOS:

Para determinar los extremos debemos derivar la función e igualar a 0 esa derivada, lo cual nos dará las abscisas (coordenadas "x") de los puntos críticos (los extremos que buscamos).

f(x) = 3x^5 - 5x³ - 1

f '(x) = 15x^4 - 15x²

f '(x) = 15(x^4 - x²)

Igualamos a 0:

15(x^4 - x²) = 0

x^4 - x² = 0/15

x^4 - x² = 0

x²(x² - 1) = 0

Luego:

x² = 0

x = 0

Ó bien

x² - 1 = 0

(x + 1) (x - 1) = 0

Y entonces

x + 1 = 0

x = -1

ó

x - 1 = 0

x = 1

Entonces la función f(x) tiene 3 puntos críticos:

x = -1

x = 0

x = 1

Para saber si estos "extremos" son máximos o son mínimos debemos volver a derivar y evaluar la segunda derivada en cada valor crítico de los que acabamos de hallar:

f "(x) = [ f '(x) ] '

f "(x) = [ 15(x^4 - x²) ] '

f "(x) = 15(4x³ - 2x)

f "(x) = 30(2x³ - x)

Evaluamos en

x = -1:

f "(-1) = 30[ 2(-1)³ - (-1) ]

f "(-1) = 30[ 2(-1) + 1 ]

f "(-1) = 30(-2 + 1)

f "(-1) = 30(-1)

f "(-1) = -30

como la segunda derivada evaluada en x = -1 es negativa, entonces concluimos que el punto es un máximo.

Ahora evaluamos en

x = 0:

f "(0) = 30[ 2(0)³ - 0 ]

f "(0) = 30[ 2(0) - 0 ]

f "(0) = 30(0 - 0)

f "(0) = 30(0)

f "(0) = 0

como la segunda derivada evaluada en x = 0 es 0, entonces concluimos que el punto es un punto de inflexión (no es máximo ni mínimo).

Finalmente evaluamos la segunda derivada en x = 1:

f "(1) = 30[ 2(1)³ - 1 ]

f "(1) = 30[ 2(1) - 1 ]

f "(1) = 30(2 - 1)

f "(1) = 30(1)

f "(1) = 30

como la segunda derivada evaluada en x = 1 es positiva, entonces concluimos que el punto es un mínimo.

Todos los puntos están dentro del intervalo [-2, 2], y si ese es el dominio de la función entonces esos son su máximo (x = -1) y su mínimo (x = 1) absolutos, siempre y cuando no haya otros valores de la función que sean mayores o menores. Si el dominio de la función es el conjunto de todos los reales, x = -1 es un máximo relativo, y x = 1 es un mínimo relativo.

Por ejemplo:

f(3/2) > f(-1)

luego f(-1) no es un máximo absoluto en ningún caso. Es solo

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