Segundo Orden

Control de Procesos. Julio A. Romero. Dpto. Tecnología

Identificación experimental de sistemas dinámicos por

métodos gráficos usando Matlab.

Introducción

Los métodos gráficos para la identificación de sistemas tienen la ventaja de que, dada su

sencillez, para su aplicación sólo se necesita “lápiz y papel”. Hoy en día, sin embargo, son

habituales los ordenadores con posibilidades gráficas potentes, y además la existencia de

programas especializados para el manejo de datos. En este contexto es importante conocer

como aprovechar las potencialidades de estas herramientas computacionales para la

aplicación de estos métodos de identificación.

Esta guía tiene el objetivo de brindar los procedimientos básicos a seguir para la

aplicación de los métodos gráficos de identificación experimental utilizando el programa

Matlab. Para ello se han desarrollado los siguientes ejemplos:

1. Obtención de un modelo de primer orden.

2. Identificación de un modelo de segundo orden con polos iguales mediante el

método de Strecj.

3. Identificación de un modelo de segundo orden con polos diferentes mediante el

método de gráficas logarítmicas.

Ejemplo 1

Se quiere obtener el modelo de un sistema cuya respuesta ante un escalón unitario está en

el archivo ensayo.dat.

Cargar los datos al Workspace de Matlab:

>> load ensayo.dat

mediante la instrucción “who” podemos comprobar que los datos han sido cargados desde

el archivo:

>> who

Your variables are:

ensayo

La variable ensayo es una matriz de 3 columnas: la primera columna contiene los valores

de tiempo t y la segunda los valores de la entrada u(t)y la tercera columna los valores de

la salida del sistema y(t).

Obtener una gráfica de los datos experimentales:

>> plot(ensayo(:,1),ensayo(:,3))

Con esta instrucción Matlab genera una figura (Figure No. 1) que contiene la gráfica de la

respuesta del sistema: y(t) vs t

Para facilitar la búsqueda de valores en la gráfica añadir divisiones mediante la

instrucción:

>> grid

1

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Sobre esta gráfica se aplican los métodos de identificación gráficos.

Identificación de un modelo de 1er orden

Supongamos que queremos aproximar el comportamiento por un sistema de 1 orden.

G s = k

τs1

Hemos de obtener los parámetros: ganancia estática y constante de tiempo.

Ganancia estática k:

k=

Δy ∞

Δu

de la gráfica Δy ∞=1.5 y conociendo que la entrada ha sido un escalón unitario

Δu=1 . Por tanto k=1.5 .

Constante de tiempo t

Calcular el 63% del valor final de estado estable de la salida 0.63 Δy ∞ :

>> y_tau=0.63*1.5

y_tau =

0.9450

Para este valor se obtiene de la gráfica por inspección visual el valor de t. Para obtener un

valor más preciso se puede utilizar la instrucción ginput, con la cual es posible obtener las

coordenadas (x,y) de un punto seleccionado con el ratón en un gráfico. Una vez

introducida la instrucción en la línea de comando, se selecciona en el gráfico el punto del

cual deseamos conocer las coordenadas:

hacemos clic con el ratón y aparecen las coordenadas del punto seleccionado

2

Hacer coincidir

aproximadamente

con el valor de y_tau

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>>tau=ginput(1)

tau =

2.5461 0.9287

de donde tenemos que τ≈2.55 .

Verificación del modelo

Una vez obtenidos los dos parámetros del modelo podemos comprobar la similitud de la

respuesta del modelo con los datos experimentales.

Primero crearemos el modelo con los parámetros calculados con la instrucción tf, que

permite definir una función de transferencia a partir de dos vectores que contienen los

coeficientes de los polinomios del numerado y denominador en potencias decrecientes de

s:

>> G0=tf(1.5,[2.55 1])

Transfer function:

1.5

----------

2.55 s + 1

Luego generamos el gráfico de la respuesta escalón del sistema:

>> hold on,step(G0,'r')

Aquí tenemos dos instrucciones: hold on: mantiene en la figura la gráfica de la respuesta

del sistema1. step(G0,’r’): traza en color rojo (argumento ‘r’) la gráfica de la respuesta al

paso de la función de transferencia en G0.

De la figura podemos comprobar por simple inspección visual que existe una diferencia

considerable entre las respuestas del modelo en G0 (en rojo) y del sistema real (en azul).

Procederemos entonces a tratar de obtener un nuevo modelo que ajuste de forma más

aproximada en comportamiento del sistema real.

Identificación de un modelo de 2º orden. Método de Strecj.

Con el método de Strejc la respuesta del sistema se trata de aproximar por un sistema con

polos reales múltiple:

G s = k

1τs n

Los valores de t y n se busacan de la siguiente tabla, a partir de los valores de Tu y Ta que

se obtiene de gráfica de respuesta del sistema.

n Ta /t Tu /t Tu /Ta

1 1 0 0

2 2.7 0.28 0.104

1 Si no ponemos la instrucción hold on la gráfica del la respuesta experimental se borra de la figura al

ejecutar la instrucción step.

3

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3 3.7 0.80 0.22

4 4.46 1.42 0.32

5 5.12 2.1 0.41

6 5.7 2.8 0.49

7 6.2 3.55 0.57

8 6.7 4.3 0.64

9 7.6 5.08 0.71

Para obtener los valores de Tu y Ta de la gráfica nos auxiliaremos de la herramienta para

el trazado de líneas que aparece en la figura. Antes crearemos una nueva figura sobre la

que trabajaremos:

>> figure,plot(ensayo(:,1),ensayo(:,3))

crea una nueva figura (Figure No. 2) con los datos experimentales. Minimizamos (no

cerrar) la figura (Figure No. 1).

En Figure No. 2 se selecciona la herramienta para el trazado de líneas:

y se trazan las líneas necesarias para determinar Tu y Ta: la tangente al punto de máxima

pendiente de la curva y la que coincide con del valor final de estado estable.

Para determinar los valores de Tu y Ta usaremos la instrucción

...