MODELO DE SEGUNDO ORDEN

SUPERFICIES DE RESPUESTA DE SEGUNDO ORDEN

1 Superficie de respuesta de segundo orden.

Se busca identificar la región que contenga la solución óptima:

a) Los diseños factoriales con puntos centrales 2K o 2K-1 con niveles (-1, 0, +1).

b) Probar la curvatura del modelo de segundo grado:

Donde las hipótesis de trabajo son:

Ho: No hay curvatura significativa

H1: La curvatura es significativa

Donde:

Y promedio de los puntos del diseño en los vértices del cubo o cuadrado

Y promedio de los puntos del diseño de puntos centrales del cubo o cuadrado

Número de puntos factoriales en los vértices del cubo o cuadrado.

Número de puntos centrales en el cubo o cuadrado.

Se rechaza la Ho si Fc > Falfa, 1, nc y si al menos hay in punto óptimo dentro de la región actual de experimentación.

Cuando en los modelos de naturaleza lineal, si la curvatura fuera significativa, es necesario ajustar modelos de segundo orden, es decir, se requiere de la metodología de superficies de respuesta (RSM).

2 Función de aproximación de segundo orden.

En la metodología de superficie de respuesta (RSM) se asume que la relacional funcional:

Y = f(x,ø) + € 1

es desconocida. Las variables x1, x2,...., xk, son centrada y convertidas en unidades de diseño y se aplica el siguiente modelo:

2

Este es el modelo de superficie de respuesta de segundo orden.

2.1 Características de la función de segundo orden y la superficie de respuesta.

El modelo de la ecuación 2 se ajusta a la mayoría de datos experimentales en los que existe curvatura. En algunos casos poco frecuentes se pueden requerir el uso de los términos cúbicos (sea etcétera) para lograr un ajuste adecuado. En otros casos la curvatura puede ser adecuadamente manejada a través del uso de transformación sobre la misma respuesta.

El modelo de segundo orden descrito en ecuación 2 es muy eficaz y fácilmente se adapta a una gran variedad de diseños de experimentos¬.

La naturaleza geométrica de la función de segundo orden se muestra en las Figuras 1, 2, y 3. Las Figuras 1 y 2 indican contornos de la respuesta constante para una situación hipotética con k = 2 variables. En Figura 1 el centro del sistema, o punto estacionario, es un punto de respuesta máxima. En la Figura 2 el punto estacionario es un punto de respuesta mínima. En ambos casos la respuesta se muestra en elipses concéntricas. La Figura 3, muestra un sistema hiperbólico de contornos. Note que el centro no es ni un máximo ni un punto mínimo. En este caso, el punto estacionario es llamado un punto silla y el sistema de contornos se llama de silla o sistema minimax. La identificación de las características del sistema y la ubicación del punto estacionario son importantes en el análisis de segundo orden. Este tipo de análisis es muy amigable por computadora. Los gráficos tridimensionales pueden ser muy útiles para el analista de datos en la definición de las características de una superficie de respuesta.

Fig. 3 Sistema de segundo orden mostrando un punto silla a) Contorno b) Superficie

2.2 Superficie de respuesta de segundo orden

La característica del sistema de superficie de respuesta (máximo, mínimo, o punto silla) depende de los signos y las magnitudes de los coeficientes del modelo de la ecuación 2. Los coeficientes de segundo orden (interacciones y términos cuadráticos puros) tienen un papel esencial. Tenemos que considerar que los coeficientes usados son estimaciones de las β’s de la ecuación 2. Como resultado los contornos representan contornos de estimaciones de respuesta. Por lo tanto, incluso el sistema mismo (puntos silla, máximo o mínimo) es parte del proceso de estimación. El punto estacionario y la característica general del sistema surgen como consecuencia de un modelo ajustado, no de la estructura real.

Considere el ejemplo de la figura 1 para la cual el modelo de segundo orden está dado por:

Un análisis de esta función de superficie de respuesta determinaría la ubicación del punto estacionario y la naturaleza de la respuesta.

El punto estacionario de la solución es:

Esto resulta en el sistema de las ecuaciones lineales

16x1 + 12x2 = 5

12x1 + 24x2 = 10

Viendo la solución para el punto estacionario x1 = 0 x2 = S/12

La respuesta aproximadamente en el punto estacionario es dada por:

Yest = 9 102.08.

El análisis gráfico, tiene un papel importante. Sin embargo muchas veces el análisis formal es muy provechoso. Esto es particularmente cierto cuando varias variables de diseño (k > 2) están involucradas. El análisis formal pude ser mejor para definir las características de la superficie de respuesta. A menudo la naturaleza del sistema se logra a través de una combinación de las técnicas analíticas y análisis gráfico. Además, frecuentemente es necesario, para el científico o el ingeniero, usar optimizaciones restringida para llegar a las condiciones operativas optimas. Esto es particularmente cierto cuando el punto de respuesta silla, mínimo o máximo se encuentran fuera de la región experimental, o existen varias respuestas que deben de ser consideradas.

3. Modelo analítico de aproximación para respuesta de segundo orden.

Considerar otra vez el modelo de superficie de respuesta de segundo orden de la ecuación 2. Sin embargo, consideraremos el modelo ajustado en notación matricial como:

3

Donde b0, b, y son las estimaciones de los coeficientes de la intersección, de la lineal y de los segundo orden, respectivamente. De hecho x’=[x1, x2, …, xk], b’=[b1,b2, …, bk] y es la matriz simétrica k x k

3.1 Localización del punto estacionario.

Es sencillo dar una expresión general para la localización del punto estacionario, dice X3. Uno puede diferenciar en la ecuación 3 con respecto a x y obtener:

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