Circuito de segundo orden

  REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA[pic 1][pic 2]

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

VICEMINISTERIO DE EDUCACIÓN PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD MILITAR BOLIVARIANA DE VENEZUELA

CENTRO DE ESTUDIOS DE OFICIALES TÉCNICOS

ACADEMIA TÉCNICA MILITAR DE LA ARMADA BOLIVARIANA

                                              DIVISIÓN ACÁDEMICA

          CIRCUITO DE SEGUNDO ORDEN

CDT: 2: Arango licett

Catia La Mar, junio 2023

¿Qué es la respuesta de un circuito?

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La respuesta natural es lo que hace el circuito al incluir las condiciones iniciales y eliminar la entrada. La respuesta total es la suma de la respuesta forzada más la respuesta natural. Podemos combinar estas respuestas con el principio de superposición.

¿Qué es la respuesta en frecuencia de un circuito RLC?

La respuesta en frecuencia de un circuito es la variación que este experimenta (como se manifiesta), al cambiar la frecuencia de la señal. La función de transferencia de un circuito también llamada función de red, es una herramienta analítica útil para determinar la respuesta en frecuencia.

RESPUESTAS DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN Sistema de segundo orden: es aquel que posee dos polos en su función de transferencia. Físicamente este sistema puede representar un circuito RLC paralelo, acoplamiento de dos tanques, tanque con sistema de calentamiento/enfriamiento, sistemas de masas inerciales, etc. Genéricamente cualquier sistema dinámico lineal de segundo orden se puede representar (con a a a y b constantes) por la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal: (con a1, a 2, a o y b constantes) Frecuentemente se acostumbra escribir esta ecuación como: 2 Cátedra: “Sistemas de Control” – TEO-06-2017 ; ; (suponiendo a ≠ 0) donde: ; ; (suponiendo a0 ≠ 0). Aplicando Aplicando la Transformada Transformada de Laplace Laplace m.a.m. a la ED: Función transferencia del transferencia del sistema de segundo orden. Vemos que g(s) no tiene ceros, pero tiene dos polos dados por las raíces del polinomio característico. 3 Cátedra: “Sistemas de Control” – TEO-06-2017 Donde: Los parámetros K, ζ, τ, caracterizan la conducta de los sistemas de segundo orden y se definen como: K = ganancia. ζ = factor de amortiguamiento. τ = periodo natural. Suponiendo que tanto τ como K >0, el tipo de raíz (real o compleja) esta determinada por los valores del parámetro ζ según: ζ > 1 → se tienen 2 raíces reales diferentes diferentes. ζ < 1 → existen 2 raíces complejas conjugadas. ζ = 0 → tenemos 2 raíces complejas. 4 Cátedra: “Sistemas de Control” – TEO-06-2017 OBSERVACIONES • 1/τ = ωn = denota la frecuencia natural, el cual es un indicador de la rapidez de respuesta. • ζ = es el factor de amortiguamiento amortiguamiento, el cual proporciona proporciona una idea del grado de oscilación oscilación de la respuesta. • El comportamiento dinámico de los sistemas de segundo orden, pueden describirse en términos de los parámetros ωn y ζ. Para facilitar el análisis se realiza el siguiente cambio de variables: 2 K = ω n 2 ( ) ωn = 1/τ Función transferencia ωn2= 1/τ2 τ2= 1/ωn2 2 2 2 ( ) 2 ( ) n n n u s s s y s ζω ω ω + + = estándar de segundo orden en función de ωn y ζ . 5 Cátedra: “Sistemas de Control” – TEO-06-2017 RESPUESTA TRANSITORIA ANTE UNA ENTRADA ESCALÓN UNITARIO ESCALÓN UNITARIO (1) Caso subamortiguado ( 0 < ζ < 1 ): los polos de lazo cerrado son complejos Se presentan tres casos: conjugados y yacen en el semiplano “s” izquierdo. En este caso se escribe: y ( s ) u ( s ) ( ) 2 ( ) ( )( ) ( ) 2 n d n d n u s s j s j y s ζω ω ζω ω ω + + + − = donde se denomina “frecuencia natural amortiguada”. Si es una entrada escalón: 2 ω d = ω n 1 − ζ Si u ( s )es una entrada escalón: y s n ( 2 ) ( ) 2 2 2 ζ ω = s s s y n n ( 2 ) ( ) 2 2 + ζω + ω 6 Cátedra: “Sistemas de Control” – TEO-06-2017 Utilizando fracciones parciales 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 ( ) n d n n d n s s s s y s ζω ω ζω ζω ω ζω + + − + + + = − Aplicando Laplace: s ζω ζω t ⎡ + ⎤ 1 e t s s d t n d n n ω ζω ω ζω ζω cos ( )2 2 − ⎥ =⎦⎤ ⎢⎣⎡ + + -1 + L ⎡ ⎤ e sen t s d t n d d n ω ζω ω ω −ζω ⎥ =⎦⎤ ⎢⎣⎡ + +2 2 ( ) -1 L ⎣ ζ n d ⎦ ( ) Se obtiene la salida en el tiempo ⎛ ⎞ ( 0) 1 tan 1 ( ) 1 2 1 2 ≥ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − + − = − − − sen t t e y t d t n ζζ ω ζ ζω ⎝ ⎠ 7 Cátedra: “Sistemas de Control” – TEO-06-2017 OBSERVACIÓN: • Si la señal de entrada entrada de tipo escalón escalón, no fuese unitario unitario (A/s), la expresión expresión de la respuesta debe ir multiplicada por la amplitud del escalón (A). • En la ecuación de la respuesta y(t), se observa que la frecuencia de oscilación transitoria transitoria es la frecuencia frecuencia natural natural amortiguada amortiguada ω y que por tanto varía con el factor d y que, por tanto, varía con el factor de amortiguamiento ζ. • La señal de error para este sistema es la diferencia entre la señal de entrada y la señal e(t) = u(t) – y(t) de salida, y resulta: e(t) u(t) y(t) • Esta señal presenta una oscilación senoidal amortiguada. En régimen estacionario (t = ∞), no hay error entre la entrada y la salida. • Para ζ = 0, la respuesta se vuelve NO amortiguada y las oscilaciones continúan indefinidamente. Para este caso la salida nos queda: y(t) 8 Cátedra: “Sistemas de Control” – TEO-06-2017 (2) Caso de amortiguamiento crítico (ζ = 1 ) : en este caso se tienen dos polos reales iguales e , ante un escalón y ( s ) n 2 ( ) ω resulta: s s y s n n 2 ( ) ( ) + ω = Aplicando La Transformada Inversa de Laplace, la respuesta temporal resulta: ( ) = 1 − ( 1 + ) ( ≥ 0 ) − y t e t t n t n ω ω 9 Cátedra: “Sistemas de Control” – TEO-06-2017 (3) Caso sobreamortiguado (ζ > 1): 2 en este caso se tienen dos polos reales negativos y diferentes. Para una entrada escalón, es: (3) Caso sobreamortiguado (ζ > 1): y(s) s s s y s n ( 1)( 1) ( ) 2 2 2 + + − + − − = ζω ω ζ ζω ω ζ ω s s s n n n n ( +ζω +ω ζ 1)( +ζω ω ζ 1) Aplicando La transformada inversa de Laplace a la ecuación resulta: t t n n y t e e ζ ζ ω ζ ζ ω ζ ζ ζ ζ ζ ζ ( 1) 2 2 ( 1) 2 2 2 2 2 1( 1) 1 2 1( 1) 1 ( ) 1 − + − − − − − − − − − + − = + Cuando ζ es >> 1, uno de los dos exponenciales que decaen disminuye mucho más rápido que el otro, por lo que el término exponencial que decae más rápido puede despreciarse (corresponde a una constante de tiempo más pequeña). Para este caso la respuesta temporal resulta: y( )t 10 Cátedra: “Sistemas de Control” – TEO-06-2017 Respuesta al escalón para sistemas de segundo orden para diferentes valores del coeficiente de amortiguamiento ζ . 1 8 2 ζ = 0 ζ 1.6 1.8 ζ = 0.2 ζ = 0.4 1.2 1.4 ζ = 0.7 ζ = 0 8 1 ζ ζ = 0.8 0.6 0.8 ζ = 1 ca 0.4 ζ > 1 sa 0 2 4 6 8 10 12 0 0.2 11 0 2 4 6 8 10 12 ω n.t Cátedra: “Sistemas de Control” – TEO-06-2017 ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA TRANSITORIA Las características deseadas de un sistema de control, se especifican en términos de cantidades en el dominio del tiempo. Normalmente se especifica la respuesta transitoria según una entrada del tipo escalón unitario. 1. Tiempo de retardo, td: tiempo requerido para que la respuesta alcance la primera vez la mi d ta d d l e valor fi l na . 2. Tiempo de crecimiento, tr: tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor fi l na . 3. Tiempo pico, tp: tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico del sobreimpulso. 4. Sobreimpulso (%), M p: es el valor pico máximo de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad. 5. Tiempo de establecimiento, ts: tiempo que se requiere para que la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final. Por lo general, de 2 a 5% y permanezca dentro de él. 12 Cátedra: “Sistemas de Control” – TEO-06-2017 OBSERVACIÓN: • Si el valor final en estado estable de la respuesta es diferente de la unidad, es común usar un porcentaje del sobreimpulso. Se define mediante: Porcentaje de sobreimpulso El valor del máximo sobreimpulso (%), nos da una idea de la estabilidad relativa del sistema. • Al especificar los valores de td • Al especificar los valores de t t t t y M queda determinada la forma de la curva de d, tr, tp, ts y Mp, queda determinada la forma de la curva de respuesta. • No todas las especificaciones son frecuentes en los sistemas de control. Para un sistema sob id reamortiguado no se aplican los té i rm nos tp y Mp. • En algunos casos es necesario que la respuesta de un sistema sea lo suficientemente rápida y amortig , uada para estos casos ζ = 0,4a0,8. Para valores de ζ < 0,4 producen excesivo sobreimpulso Mp y para valores de ζ > 0,8, el sistema responde muy tardíamente. 13 Cátedra: “Sistemas de Control” – TEO-06-2017 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN Y ESPECIFICACIONES DE LA RESPUESTA TRANSITORIA A continuación describiremos las especificaciones de sistemas de 2do orden en términos de ζ y ω n. ( 0 ) 1 ( ) 1 tan 2 1 ≥ ⎞ ⎜ ⎜ ⎛ − = − + − − sen t t e y t d t n ζ ω ζω La respuesta de un sistema sub-amortiguado era: Tiempo de crecimiento “t r ” tan ( 0 ) 1 ( ) 1 2 ≥ ⎠ ⎜ ⎝ + − y t sen t t d ζ ω ζ La respuesta de un sistema sub amortiguado era: Si hacemos y(tr) = 1, obtenemos: (Tiempo de crecimiento) 2 ω ω 1 ζ (f i t l ti d ) Donde sabemos que: ω d = ω n 1 − ζ (frecuencia natural amortigua d a) Es fácil observa r que para un valo r pequeño de tr, ω n debe se r alto. 14 Cátedra: “Sistemas de Control” – TEO-06-2017 Tiempo de pico “tp” Si derivamos y(t) con respecto del tiempo y la igualamos a cero se llega a: dy Los términos de coseno de esta última ecuación se cancelan uno al otro, por lo que la ecuación evaluada en t = tp, se simplifica a: dy Dado que el tiempo pico corresponde corresponde al primer pico de sobre impulso impulso máximo, entonces entonces ωp.tp = π. Por tanto: (Tiempo de pico) El tiempo pico t p p p corresponde a medio ciclo de la frecuencia de oscilación amortiguada. 15 Cátedra: “Sistemas de Control” – TEO-06-2017 Sobreimpulso máximo “Mp” se presenta en el tiempo pico (t = tp = π / ωd). Por tanto, Mp se obtiene como: Mp = y(tp) - 1 σ = ζω n Donde: (Atenuación) Si la señal de forzamiento es “no unitaria”, por ejemplo si el escalón posee una amplitud “A”, tenemos que: Mp = A. = A. p A. A. 16 Cátedra: “Sistemas de Control” – TEO-06-2017 OBSERVACIONES PARA SISTEMAS SUBAMORTIGUADOS • La velocidad de caída de la respuesta transitoria depende del l d l d i Respuesta dinámica de un sistema de segundo orden subamortiguado para distintos valores del factor de amortig amiento va lor d e la constante de t iempo “T”. • El tiem po de establecimiento amortig uamiento. p “ts”, para un sistema apenas amortiguado, es mayor que para un sistema muy amortiguado. ts= 14,9 [seg] p/ ζ = 0,3 s 14,9 [seg] p/ ζ 0,3 (Cte. de tiempo) ts = 20,5 [seg] p/ ζ = 0,2 17 Cátedra: “Sistemas de Control” – TEO-06-2017 OBSERVACIONES PARA SISTEMAS SOBREAMORTIGUADOS • Para un sistema sobre amortiguado, “ts” se hace grande debido a la tardanza en la iniciación de la respuesta. • Cuanto menor es la cte. de tiempo “T”, más rápida es la velocida d de respuesta y por lo tanto un tiempo ts menor. Respuesta dinámica de un sistema de segundo orden sobre amortiguado para distintos valores del factor de amortiguamiento. (Cte. de tiempo) 18 Cátedra: “Sistemas de Control” – TEO-06-2017 COMPROMISO DE DISEÑO EN COMPROMISO DE DISEÑO EN SISTEMAS SISTEMAS DE 2 DE 2 do ORDEN Recordemos que: Para asegurar asegurar una respuesta respuesta transitoria transitoria aceptable aceptable: 1- El coeficiente coeficiente de amortiguamiento amortiguamiento ζ no debía ser demasiado demasiado pequeño. 2- La frecuencia frecuencia natural natural no amortiguada amortiguada ω n, debía ser grande. 3- Por otro lado, para asegurar asegurar un error estacionario estacionario aceptable, aceptable, se podía logra r aumentando aumentando la ganancia ganancia K del sistema sistema. ¡Pero en estos casos la respuesta se hacía muy oscilatoria, aumentando el máximo bi l ! Entonces de lo expuesto surge la necesidad de llegar a un compromiso entre el valor del error t i i l ái bi l so bre impu lso !. es tac ionar io y e l m á x imo so bre impu lso. 19 Cátedra: “Sistemas de Control” – TEO-06-2017 CONCEPTO DE ESTABILIDAD DE UN SISTEMA CONCEPTO CONCEPTO DE ESTABILIDAD ESTABILIDAD DE UN SISTEMA SISTEMA Para que un sistema de control tenga un valor práctico, su principal condición es que sea estable. Recordemos que: Un sistema físicamente estable es aquel en el cual los transitorios decaen, es decir, la respuesta transitoria desaparece para valores crecientes en el tiempo. Supóngase un sistema continuo de segundo orden, cuya función de transferencia es: 2 y ( s ) ω 2 2 ( ) 2 ( ) n n n u s s s y s ζω ω ω + + = Los po los d e l a f ió unc n d e tf i rans ferenc ia ser án: 20 Cátedra: “Sistemas de Control” – TEO-06-2017 En caso de que: el radi l ca es negativo, y los polos resultan ser compl j e os conj d uga os: Plano “S” La figura muestra la ubicación de los polos complejos. Nótese que la distancia distancia de los polos al origen (la magnitud magnitud del complejo) es justamente ωn. : Además, el coseno del ángulo Ø formado con el semieje real negativo, es justamente ζ. 21 Cátedra: “Sistemas de Control” – TEO-06-2017 Si evaluamos la respuesta t l emporal para el si ts ema supuesto, tenemos que: ( 0) 1 ( ) 1 t 2 1 ≥ ⎞ ⎜⎛ − + − − t t e t t n ζ ζω tan ( 0) 1 ( ) 1 1 2 ≥ ⎟⎠ ⎜⎜⎝ + − y t = − sen t t d ζζ ω ζ 2 y como: ω d = ω n 1−ζ podemos escribi l r a de manera más prá ti c ca, como: ( ) 1 ( 1 ) ( 0) 2 = + ≥ − sen t t e y t t n ω ζ φ ζω ( 1 . ) ( 0) 1 ( ) 1 2 − + ≥ − y t = − sen t t ωn ζ φ ζ : Al evaluar estas expresiones, se observa que para valores positivos de -ζ.ωn, el término exponencial crece indefinidamente, y por tanto la respuesta se hace infinita. 22 Cátedra: “Sistemas de Control” – TEO-06-2017 REGIÓN DE ESTABILIDAD El término - ζ.ω n coincide con la parte real de los po los d l e l poli i nom io caract í ti er í stico, t l a l como se muestra en el Plano “S”, por lo tanto, la región de estabilidad, aquella en la que deben ubicarse los po los para que e l s istema sea estable, resulta ser el semiplano izquierdo. : Para ello se requiere que los coeficientes de “t” en los términos exponenciales de la solución transitoria, sean números reales negativos o números complejos con partes reales negativas. 23 Cátedra: “Sistemas de Control” – TEO-06-2017 Im(s) Re (s) 24 Cátedra: “Sistemas de Control” – TEO-06-2017 OBSERVACIONES • Una señal aplicada a un sistema no tiene efecto en la estabilidad del mismo. Un sistema que es estable a una señal, lo es también a todas las señales. • Si las raíces del polinomio característico son reales positivas o complejas con partes reales positivas, el sistema resulta inestable. • En los casos de tener raíces con parte real cero, la respuesta de estos sistemas es una osci ió lac n persistente, que no decae ni crece en el tiempo (Estabilidad Limitada). En la prá i ct ca se consideran i bl nestables. • Para una estabilidad absoluta, todas las raíces deben ser números reales negativos o números compl j e os con partes reales negativas. 25 Cátedra: “Sistemas de Control” – TEO-06-2017 CRITERIO DE ROUTH Criterio de Routh-Hurwitz (estabilidad absoluta): prueba si las raíces del polinomio característico están en el semiplano de la izquierda o de la derecha. Supongamos Supongamos la funcion funcion transferencia transferencia de un sistema sistema: 1- Tomamos en polinomio característico del mismo: 2- Armamos el siit gu en e arreglo: Donde: 26 Cátedra: “Sistemas de Control” – TEO-06-2017 3- Se investigan los signos de la primera columna del arreglo: Routh establece que el numero de cambios de signos en la primera columna del arreglo es igual al numero de raíces con partes reales positivas positivas. Ejemplo 1: x 5+3x 4+7x 3+20x 2+6x+15 = 0 El arreglo de Routh es: El arreglo de Routh es: 176 3 20 15 1/3 1 11 15 El sistema es estable. No hay cambios de signo en la primera columna, y por lo tanto, no hay raíces con 6/11 15 partes reales positivas. j 2 4 2 3 3 2 8 2 0 El arreglo de Routh es: 132 2 8 El sistema es inestable. Hay dos cambios de signo en l i l (d d E jemplo 2: x 4 + 2 x 3 + 3 x 2 + 8x+ 2 = 0 2 8 -1 2 12 2 la p rimera columna (de mas a menos y de menos a mas), lo que indica que hay dos raices con partes reales positivas. 27 Cátedra: “Sistemas de Control” – TEO-06-2017 OBSERVAC

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