TRANSFORACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS DE FORMA BINÓMICA A POLAR Y VICEVERSA
Enviado por cristhian1111 • 3 de Agosto de 2015 • Trabajo • 2.191 Palabras (9 Páginas) • 269 Visitas
EXPOSICIONES
TRANSFORACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS DE FORMA BINÓMICA A POLAR Y VICEVERSA
Un número complejo es una combinación de un número real y un número imaginario. Entonces, un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria. La unidad imaginaria es el número [pic 1] y se designa por la letra i.
Sea z = a + b·i un número complejo en su forma binómica.
Un número imaginario se denota por bi, donde:
“b” es un número real e “i” es la unidad imaginaria
Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.
Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.
El conjunto de todos los números complejos se designa por [pic 2].
Los números complejos z= a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.
Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.
REPRESENTACIONES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Binómica | z = a + bi |
Polar | [pic 3] |
Trigonométrica | z = r (cos + i sen )[pic 4][pic 5] |
FORMA POLAR:
La forma polar de un número complejo ofrece ventajas notables sobre la forma rectangular, en los casos de multiplicación y división. Esta forma también facilita la extracción de raíces de números complejos.
[pic 6]
ELEMENTOS DE LA FORMA POLAR
r = módulo (Ej. 5)
= Argumento ( Ej. )[pic 7][pic 8]
cis = abreviatura de Cos y Sen
FORMA BINÓMICA, RECTANGULAR O ESTÁNDAR.
La forma binómica de un número complejo viene dada por dos partes, una parte real y una parte imaginaria.
[pic 9]
ELEMENTOS DE LA FORMA BINÓMICA
a = Parte Real
bi = Parte Imaginaria
FORMA TRIGONOMÉTRICA
La forma trigonométrica es escribir el número complejo de la forma: [pic 10]
siendo r el módulo y el argumento de . [pic 11][pic 12][pic 13]
ELEMENTOS DE LA FORMA TRIGONOMÉTRICA
r = módulo
= argumento[pic 14]
FÓRMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE LA FORMA RECTANGULAR A LA FORMA POLAR DE NÚMEROS COMPLEJOS
FÓRMULAS |
[pic 15] [pic 16] |
ELEMENTOS |
[pic 17] [pic 18] [pic 19] [pic 20] |
TRANSFORMACIÓN DE FORMA POLAR A BINÓMICA.
EJERCICIO 1
Expresar en forma rectangular o binómica. [pic 21]
Solución
[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
EJERCICIO 2:
Expresar en forma rectangular o binómica. [pic 25]
Solución
Para X:
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
Para Y:
[pic 29]
[pic 30]
[pic 31]
Entonces:
[pic 32]
TRANSFORMACIÓN DE FORMA BINÓMICA A POLAR.
EJERCICIO 3
Expresar en forma polar. [pic 33]
Solución
[pic 34]
[pic 35]
[pic 36]
EJERCICIO 4
Expresar en forma polar. [pic 37]
Solución
[pic 38]
[pic 39]
[pic 40]
PRODUCTO DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR
DEFINICIÓN:
El producto de dos números complejos en forma polar es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el producto de los módulos y el argumento del producto es la suma de argumentos.
r=Modulo (𝞪, 𝞫)=Argumento
r1𝞪 ₓ r2𝞫= (r1 ₓ r2) 𝞪 + 𝞫
DEMOSTRACIÓN:
Sean: Z1=r1ₓ (cos𝞪+isen𝞪) Dos números complejos en forma trigonométrica.[pic 41]
Z2=r2ₓ (cos𝞫+isen𝞫)
Z1ₓZ2= [r1ₓ (cos𝞪+isen𝞪)] ₓ [r2ₓ (cos𝞫+isen𝞫)]
=r1ₓr2ₓ (cos𝞪+isen𝞪) ₓ (cos𝞫+isen𝞫)
=r1ₓr2ₓ (cos𝞪cos𝞫+icos𝞪sen𝞫+isen𝞪cos𝞫+i2ₓsen𝞪sen𝞫)
=r1ₓr2ₓ [(cos𝞪cos𝞫-sen𝞪sen𝞫)+iₓ (cos𝞪sen𝞫+sen𝞪cos𝞫)]
=r1ₓr2ₓ [cos (𝞪+𝞫)+iₓsen (𝞪+𝞫)]
=Z1ₓZ2=r1ₓr2ₓ [cos (𝞪+𝞫)+iₓsen (𝞪+𝞫)]
...