1. 4. Forma Polar Y Exponencial De Un número Complejo

1. 4. Forma polar y exponencial de un número complejo

En la sección anterior no dimos una interpretación geométrica para el producto de números complejos, ni tampoco para la división.

En el caso del producto recordemos la fórmula utilizada para calcular la multiplicación:

El lado derecho de esta expresión, resulta difícil de interpretar usando el sistema de coordenadas cartesianas. Para solventar este problema, requerimos de otro sistema de coordenadas. Veremos como la trigonometría nos sirve de herramienta para resolver este problema. Podemos asignarle a cada número complejo Z = a + bi en el plano, un radio vector, que conecta al punto Z con el origen. Este radio vector forma un ángulo con el eje real o de las X, que será denotado por θ.

Nota: El ángulo θ se mide a partir del eje real y en sentido contrario a las agujas del reloj. Se puede expresar en unidades de grados o radianes.

De acuerdo a la disposición de los ejes y el radio vector, se ha formado un triángulo rectángulo, con catetos a y b, e hipotenusa dada por el radio vector. Usando el Teorema de Pitágoras, se demuestra que la longitud de este radio vector es:

igual al módulo del complejo Z. Esto es:

Usando conocimientos de trigonometría en el triangulo anterior, se demuestran las relaciones

Estas fórmulas reciben el nombre de Fórmulas de cambio de coordenadas polares a cartesianas.

Está claro que si conocemos el argumento principal de Z y su módulo, entonces lo podemos representar geométricamente sin ambigüedad y además podremos obtener sus coordenadas cartesianas

Se tiene entonces la representación de Z en Forma Polar:

Si se conocen las coordenadas cartesianas de Z = a + bi, entonces |Z| y θ se calculan de acuerdo a las formulas:

llamadas fórmulas de cambio de coordenadas cartesianas a polares.

Ejemplo. Número complejo en el primer cuadrante.

Hallar la Forma Polar del complejo Z = 2 + 2i, y representarlo geométricamente en el plano.

Solución. En primer lugar, debemos calcular el módulo y el ángulo del complejo, mediante las fórmulas correspondientes, tal como se muestra a continuación:

Luego calculamos el ángulo:

La representación polar de Z es

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