Numeros Complejos

1. Origen de los números complejos:

El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no euclídea, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.

2. Números complejos :

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como , siendo el conjunto de los reales se cumple que . Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.

Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:

• Suma

• Producto por escalar

• Multiplicación

• Igualdad

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:

• Resta

• División

3. Operaciones con números complejos:

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Ejemplo:

(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i ) =

= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

4. Propiedades de los números complejos:

La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:

• Conmutativa

Dados dos números complejos a + b.i y c + d.i se tiene la igualdad:

(a + b.i) + (c + d.i) = (c + d.i) + (a + b.i)

Ejemplo:

(2 - 3 i) + (-3 + i) = (2 - 3) + i (-3 + 1) = -1 - 2 i

(-3 + i) + (2 - 3 i) = (-3 + 2) + i (1 - 3) = -1 - 2 i

• Asociativa:

Dados tres complejos a + b.i, c + d.i y e + f.i , se cumple:

[(a + b.i) + (c + d.i)] + (e + f.i) = (a + b.i) + [(c + d.i) + (e + f.i)]

Ejemplo:

(5 + 2 i) + (3 - 4 i)] + (-9 + 8 i) = (8 - 2 i) + (-9 + 8 i) = -1 + 6 i

(5 + 2 i) + [(3 - 4 i) + (-9 + 8 i)] = (5 + 2 i) + (-6 + 4 i) = -1 + 6 i

• Elemento neutro

El elemento neutro es 0 + 0 i ,puesto que

(a + b.i) + (0 + 0 i) = (a + 0) + i (b + 0) = a + b.i

El número 0 + 0 i se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero».

• Elemento simétrico

El elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + b.i es (- a - b.i):

(a + b.i) + (-a - b.i) = 0 + 0 i= 0

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