Numeros Complejos

Unidad 1. Números complejos.

Definición y origen de los números Complejos.

Aritmética de los números complejos: Las raíces cuadradas de algunos enteros son también enteros. Por ejemplo:

No se puede avanzar gran cosa en álgebra sin encontrar raíces cuadradas de otros enteros. Considérense expresiones tales como:

Estas raíces cuadradas no son enteras; de hecho, tampoco se pueden expresar como cocientes de enteros. Entonces, se consideran números irracionales. Los números racionales y los irracionales forman el conjunto de los números reales. Hasta ahora, los números reales eran todo lo que se necesitaba conocer. Para entender por qué se pueden necesitar otros números, considérense la ecuación:

Como se sabe, el cuadrado de todo número real es no negativo. Puesto que -1 es negativo, esta ecuación no tiene raíz real. Pero si esta ecuación tuviese raíz, se pensaría en ella como “la raíz cuadrada de -1”. Con el objeto de resolver muchos problemas de matemáticas avanzadas, ingeniería y ciencias, es conveniente introducir nuevos números que sirvan como raíces de ésta y de otras ecuaciones cuadráticas.

El sistema de los números reales no es suficiente para todo lo que se requiere; se deben emplear números complejos. Estos números se introducen para resolver cualquier ecuación polinómica , en donde son números reales. En el caso cuadrático, , se sabe que las raíces están dadas por la fórmula de las cuadráticas

Si , entonces hay dos raíces complejas distintas. Antes de definir el conjunto de los números complejos, se define el número imaginario mediante o bien ; Ahora se puede definir el conjunto de los números complejos.

Definición:

Un número complejo es un número de la forma z = a + bi en donde a y b son números reales. La parte real de z, simbolizada por Re z, es a, y la parte imaginaria de z, o sea Im z, es b.

Si a=0, entonces z se llama número imaginario puro. Si b=0, entonces z es un número real.

Ejemplo:

Los números:

Se sabe que ; entonces se puede calcular:

Expresar en función de i los siguientes ejercicios:

Operaciones fundamentales con números Complejos.

I.- Para sumar dos números complejos se suma por una parte las partes reales y por otra las imaginarias.

Ejemplo:

(a + bi) + ( c + di)

(a +c ) + (bi + di)

(a + c ) + i (b +d )

1.- ( 5 +4i ) + ( 3 + 2i) = ( 5+3) + (4i +2i) = (5+3) + (4 +2i) = 8 + 6i

2.- (-6 + 2i ) + (4 – 5i) = (-6 +4) +(2-5)i= -2 –3i

II.- Para restar dos números complejos se restan por una parte las partes reales y por otra las imaginarias.

Ejemplo:

( a +bi) – (c + di) = (a-c) + (bi – di) = (a-c) + (b – d)i = (a – c) + i (b-d)

(3 +2i) – (5 – 3i) = (3-5) + (2 – (-3)) i= -2 + 5i

(-1+i ) – (-3+2i)= (-1- (-3)) + (i – 2i) = 2 – i

Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:

(5 – 2i) + (6+3i) = (5+6) + (-2i + 3i) = 11 + i

(6+ 3i ) – ( 4 – 2i) = (6 – 4) + (3i – (-2i) ) = 2 +5i

(5 – 3i) – (-2 + 5i) = (5 – (-2i)) + (-3i –5i)= 7 – 8i

( 3/2 + 5/8i) + (-1/4 + 1/4i) = (3 /2+ (-1/4)) + (5/ 8i +1/4i) = 5/4 +7/8i

( a + bi) + (a-bi) = (a + a) + (bi – bi) = 2a

( a + bi) – (a – bi) = ( a – a) + ( bi – (-bi ))= 2bi

Los números complejos se pueden representar como puntos en el plano complejo, con Re z representada a lo largo del eje “x” e Im z a lo largo del eje “y”. Algunos puntos representativos se muestran en la siguiente figura:

III.-Para multiplicar dos números complejos se efectúa la operación como se tratase de dos binomios sustituyendo i2 por –1.

a) (a + bi ) * ( c + di )

a + bi

c + di

ac +cdi

+ adi + bdi2

ac + cbi + adi + bd (-1)

ac + cbi + adi – bd

(ac – bd ) + (cbi + adi )

= ac – bd + i (cd +ab)

b) ( 5 + 3i ) ( 2 – 2i)

5 + 3i

2 – 2i

10 + 6i

-10i –6i2

10 – 4i + 6

= 16 – 4i

c) ( 5 + 3i) 2 = ( 5 + 3i) (5 + 3i) = 25 + 30i + 9i2

25 + 30i +9(-1)

25 + 30i – 9 = 16 + 30i

5 + 3i

5 + 3i

25 + 15i

15i + 9 i2

25 +30i – 9 = 16 +30i

IV.-Para dividir dos números complejos se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador y se sustituye i2 por -1.

Si

Calcule el conjugado de:

1+i

3-4i

-7+5i

-3

Solución:

Ejemplo:

2 + i

3 + 4i

6 + 3i

8i + 4 (-1)

6 + 11i – 4 = 2 + 11i

1 + i

3 + i

3 + 3i

i + i2

3 + 4i – 1 = 2 + 4i

Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de números Complejos.

De la definición de unidad imaginaria y de la multiplicación entre complejos, se tiene:

y como el complejo (- 1,0) se identifica con el número real -1,se concluye entonces que:

De esta manera, se pueden establecer las potencias sucesivas de la unidad imaginaria i, así:

; ; ; .

En forma similar ,

; ; ; ,etc…

Note que si el exponente es de la forma 4k con k entero positivo, entonces :

...