Numeros Complejos

Unidad 1.- Números complejos

1.1 Definición y origen de los números complejos

Un numero complejo es una expresión de tipo Z=a+bi ̂ ; donde a y b son números reales e i ̂ es un símbolo.

Este tipo de números, algo misteriosos, por el momento, aparecen entre las soluciones de ecuaciones algebraicas con una incógnita. Por ejemplo la ecuación x^2+x+1=0 no tiene raíces reales.

Al tratar de aplicar la fórmula que da la solución de una ecuación de segundo grado, nos encontramos con la expresión x=(-1±√(-3))/2 la cual no tiene sentido en los números reales.

No se puede tener una raíz cuadrada de un número negativo.

Sin embargo, si usamos propiedades de los radicales se obtiene √(-3)=√3*√(-1) luego la solución de este problema es un numero algo misterioso de la forma x=-1/2±√3/2 √(-1)

¿Qué significado se le puede dar a una raíz cuadrada de un número negativo?

¿Porque no dejar de lado esta dificultad y aceptar que este tipo de ecuación no tiene solución?

La necesidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, incluyendo estas cuyas soluciones nos dan este tipo extraño de números, nos motiva a crear sistema numérico ampliado, con propiedades similares a las de los números reales.

Dentro de este contexto se acepta el símbolo √(-1) como una entidad matemática nueva.

Veamos a continuación como se construyen estos nuevos números.

Comenzaremos por introducir un nuevo número o símbolo, denotado por i ̂, el cual sería llamado la unidad imaginaria y que cumple con la condición i ̂^2=-1 o bien i ̂=√(-1)

Una vez hecho esto construimos un conjunto C llamado Números Complejos cuyos elementos son combinaciones de la forma Z=a+bi ̂ donde a y b son números reales.

Vemos entonces que todo número complejo consta de dos partes, o componentes, llamadas: parte real y parte imaginaria, dadas por a y b respectivamente.

Ejemplo

El siguiente es un número complejo Z=√2+√3 i ̂ su parte real es √2 y su parte imaginaria es √3

El siguiente es un número complejo Z=8 cuando no hay parte imaginaria, como este caso, se dice que el complejo es real.

Entonces los Números Reales forman parte del conjunto de los Números Complejos.

El siguiente es un número complejo Z=12i ̂ cuando un número complejo no tiene parte real, como en el presente caso, se dice que es un imaginario puro.

¿Cuándo dos números complejos son iguales?

Dos números complejos Z_1=a+bi ̂ y Z_2=c+di ̂ son iguales si y sólo si a = c y b = d, en otras palabras, dos números complejos son iguales cuando sus componentes respectivas, real e imaginaria, son iguales.

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos

a) Suma de números Complejos

La operación suma de números complejos está basada en la suma de números reales.

Cada complejo tiene una parte real y una parte imaginaria. Para sumar complejos hay que sumar las partes reales por un lado y las partes imaginarias por otro lado, como números reales.

Al hacer esto nos encontramos de nuevo con otro número complejo. Más precisamente:

Sean Z_1=a_1+b_1 i ̂ y Z_2=a_2+b_2 i ̂ dos números complejos.

Entonces la suma de Z_1 con Z_2 denotada por Z_1+Z_2 es el numero complejo

Z_1+Z_2=(a_1+a_2 )+(b_1+b_2 ) i ̂

Es decir, para sumar números complejos simplemente se suman sus componentes correspondientes.

Ejemplo.

Para sumar Z_1=3+2i ̂ con Z_2=-8+4i ̂ hacemos

Z_1+Z_2=(3+(-8))+(2+4) i ̂=-5+6i ̂

b) Resta de números complejos.

La resta o diferencia de dos números complejos se realiza restando cada parte por separado. Más precisamente:

Sean Z=a+bi ̂ y W=c+di ̂ dos números complejos.

Entonces la diferencia o resta de Z con W denotada por Z-W es el numero complejo

Z-W=(a-c)+(b-d) i ̂

Es decir, para restar números complejos simplemente se restan sus componentes correspondientes.

Ejemplo.

Sean Z=4+7i ̂ y W=2+3i ̂ hacemos

Z-W=(4-2)+(7-3) i ̂=2+4i ̂

Estas operaciones de suma y resta satisfacen las siguientes propiedades generales.

Propiedad de Cierre para la suma.

Si z y w son dos números complejos entonces tanto Z+W como Z-W son números complejos.

Propiedad asociativa.

Si Z, W y U son números complejos, entonces se tiene

Z+(W+U)=(Z+W)+U

Propiedad Conmutativa.

Si Z y U son números complejos, se tiene Z+U=U+Z

Propiedad del elemento neutro.

El número complejo 0=0+0i ̂, es el elemento neutro para la suma. En efecto, si Z=a+bi ̂ es cualquier número complejo se tiene

Z+0=(a+bi ̂ )+(0+0i ̂ )=(a+0)+(b+0) i ̂=a+bi ̂=Z

de la misma forma, se puede probar que 0+Z=Z

Propiedad del opuesto.

Si Z=a+bi ̂ es un número complejo, el opuesto de este es -Z=-a-bi ̂, el cual es otro número complejo. Nótese que el opuesto satisface

Z+(-Z)=(-Z)+Z=0

Usando todas estas propiedades, es posible calcular expresiones complicadas en donde aparezcan sumas y restas de números complejos

Ejemplo. Calcule el valor de Z donde

Z=(5+12i ̂ )+[(10-8i ̂ )+[(6+3i ̂ )-(7+2i ̂ )]]

El conjugado de un numero complejo (Z)

Si Z=a+bi ̂ es un número complejo, entonces el Conjugado de Z, denotado por Z ̅ , es otro número complejo definido por

Z ̅=a-bi ̂

Ejemplo:

Si Z=2+9i ̂ Su conjugado es Z ̅=2-9i ̂

Si Z=7-9i ̂ Su conjugado es Z ̅=7+9i ̂

c) Producto de números complejos

Sean Z_1=a+bi ̂ y Z_2=c+di ̂ definimos su producto mediante la formula

Z_1*Z_2=(ac-bd)+ (ad+bc) i ̂

Aunque parezca un poco complicada, esta expresión para el producto es consecuencia de las reglas de multiplicación para los números reales.

Ejemplo:

Sean Z=6+2i ̂ y W=3+5i ̂ . Obtener Z*W

Sean Z=8 y W=3+2i ̂ . Obtener Z*W

Propiedades de la multiplicación

1) Propiedad de Cierre para el producto.

Si Z_1 y Z_2 son dos números complejos entonces Z_1*Z_2 es un número complejo.

2) Propiedad asociativa.

Si Z_1 , Z_2 y Z_3 son números complejos, entonces se tiene

Z_1 (Z_2*Z_3 )=(Z_1*Z_2 ) Z_3

3) Propiedad Conmutativa.

Si Z_1 y Z_2 son números complejos, se tiene

Z_1*Z_2=Z_2*Z_1

4) Propiedad del elemento neutro.

El número complejo 1, es el elemento neutro para el producto. En efecto, si Z=a+bi ̂ es cualquier número complejo se tiene

Z*1=(a+bi ̂ )*1=(a*1)+(b*1) i ̂=a+bi ̂=Z

de

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