Numeros Complejos 1

DEFINICIÓN Y OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.

Definición. Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra al conjunto de los pares de números reales en el cual definimos las siguientes operaciones:

Suma.

Multiplicación.

En el número complejo llamaremos a la parte real y la parte imaginaria. Note que la suma y producto de pares no está definida en .

Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y que se mantienen para los complejos son:

Igualdad.

Multiplicación por un escalar. donde .

Ejemplo. Dados y , hallar:

a)

b)

c)

1. Forma binómica.

Podemos considerar C como un espacio vectorial isomorfo a , de este modo se tiene:

Gráficamente, podemos representar (y por tanto C) como un plano.

Para cada número complejo z, la primera componente, x, se denomina parte real y la segunda, y, se denomina parte imaginaria.

Obviamente, dos números complejos son iguales si y sólo si lo son simultáneamente sus partes reales y sus partes imaginarias.

Usando este tipo de representación, la suma de complejos se corresponde con la suma de vectores. Dados dos vectores y su suma es

Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir, si , entonces el módulo de es .

El conjugado de un número complejo se define como su simétrico respecto del eje real, es decir, si , entonces el conjugado de es .

El opuesto de un número complejo es su simétrico respecto del origen.

Es fácil ver que se cumple, , por tanto podemos expresar el inverso de un número en la forma .

En vez de usar coordenadas cartesianas para representar a los puntos del plano podemos usar coordenadas polares, lo que da lugar a la siguiente forma de representación de los números complejos.

2. Forma polar o módulo-argumento

Otra forma de expresar un número complejo es la forma polar o forma módulo-argumento,

donde es el módulo de , y donde q es un argumento de , esto es, q es un ángulo tal que

,

NOTA: Un número complejo tiene infinitos argumentos distintos. De hecho se puede definir el argumento de un número complejo no nulo como el conjunto de todos los posibles valores q que verifican lo anterior, es decir,

Es claro, por tanto, que si es un valor particular del argumento de , entonces

Se denomina argumento principal al único valor tal que , y se denota

Se verifica entonces que

.

Dos números complejos y , representados en forma polar son iguales si y sólo si sus módulos son iguales , y sus argumentos se diferencian en un número entero de vueltas, es decir, , con .

La forma polar de un número complejo es especialmente cómoda a la hora de multiplicar, ya que basta con multiplicar los módulos y sumar los argumentos, es decir, si , y , entonces

EJERCICIOS

Sea z = x + yi la forma binomial del número complejo buscado .

a) 1 | z | 3  o también , (1). La desigualdad (1) es equivalente a la conjunción de las desigualdades : (2) y (3). Geométricamente, (2) representa todos los puntos (x,y) del plano complejo que están por fuera del círculo unidad (incluyendo la circunferencia (Fig. 4.a.)).

De la misma forma, (3) representa geométricamente todos los puntos (x,y) del plano complejo que están en el interior del círculo centrado en el origen y radio 3, incluyendo la circunferencia (Fig. 4.b).

Como (2) y (3) se cumplen de manera simultánea esto significa geométricamente que, se debe considerar, como solución de la desigualdad inicial, la región común o intersección de las regiones de las figuras (4.a) y (4.b), esta es la corona que aparece en la Fig. 4.c.

b) | z - 1 + i | = 1  | x + iy - 1 + i | = 1 |( x -1 ) + ( y + 1 )i | = 1

(4)

La ecuación (4) representa geométricamente todos los puntos del plano complejo que están sobre la circunferencia de radio 1, centrada en el punto C(1,-1).(Fig. 5).

Ejemplo. Dados y , hallar:

a)

b)

c)

Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de los mismos mediante el plano (Gráfica 1) En esta representación se le dice eje real (Re) al eje de las y eje imaginario (Im) al eje de las .

Gráfica 1: Representación del número complejo .

Podemos considerar que los números reales están contenidos en los números complejos puesto que en el plano el número complejo coincide con el número real . De este modo tenemos cuando . Los números complejos de la forma son llamados imaginarios puros.

Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicación por un escalar :

Para eso escribimos el número real en la forma y aplicamos la definición de multiplicación:

.

Denotaremos el número complejo con la letra y lo llamaremos unidad imaginaria. Es fácil demostrar que .

Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuación .

Forma binómica de un número complejo

Sea un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma:

Pero como y , entonces . En este caso se llama forma binómica o binomia del número complejo.

Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica

, puesto que son todos números reales.

porque .

Ahora observe que los resultados son los mismos que las definiciones de suma y producto dados al inicio; por lo que la realización de las operaciones de suma y multiplicación con números complejos se puede realizar en la forma de pares o en la forma binómica, con la ventaja a favor de la forma binómica que se trabaja con las reglas del álgebra y no es necesario memorizar nada nuevo.

Ejemplo. Si y , halle y .

Conjugado

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