Unidad 1: Numeros Complejos

1.4 1.1 DEFINICION Y ORIGEN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS.

La primer persona en usar los números complejos fue un matemático italiano llamado GIROLAMO CARDANO (1501–11576) él fue quien encontró una fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas y participar en la búsqueda de fórmulas para determinar raíces exactas de los polinomios de segundo y tercer grado esto con el matemático Italiano Tartaglia. Aunque ellos solo estaban en la búsqueda de raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraron con las raíces de números negativos. La existencia de los números reales no tuvo aceptación hasta que en 1799 Wessen realizo una interpretación geométrica la cual fue redescubierta años después y hecha conocida por Gauss. CARL FRIEDRICH GAUSS (1777–1855) fue el que utilizó este término de Números complejos y lo dio a conocer, su trabajo fue de gran importancia en álgebra, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, teoría de los números, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para lo que sería el uso general y sistemático de los números complejos de hoy en día.

En la actualidad sabemos que los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. Un número real, es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, un número imaginario es aquél cuyo cuadrado es negativo.

1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON LOS NUMEROS COMPLEJOS

SUMA:

Cuando se suman dos números complejos la parte real es la suma de las partes reales de los complejos sumandos, y la parte imaginaria, es la suma de las partes imaginarias de los sumandos. Como se muestra enseguida.

RESTA:

La resta ó diferencia de números complejos se realiza restando partes reales e imaginarias entre sí, ésta operación se realiza de la misma forma que una suma. Cómo se muestra enseguida.

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

MULTIPLICACION:

Para realizar la multiplicación con números complejos se aplica la propiedad distributiva la cual establece que multiplicar una suma por un número da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y después sumar todos los productos siempre teniendo en cuenta que i 2 = -1. Como se muestra enseguida

DIVISION:

Para realizar la división dos números complejos se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de un número complejo es otro número complejo que tiene la misma parte real y la parte imaginaria cambiada de signo.

1.3 POTENCIAS DE "I", MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO

La unidad imaginaria, es el número completo imaginario puro (0; 1) y se representa con la letra i.

Por ejemplo al Verificar que i 2 = -1

i 2 = (0;1) 2 = (0;1).(0;1) = (0-1;0+0) = (-1;0) = -1

En lo anterior observa que, cada cuatro potencias sucesivas de la unidad imaginaria se repiten las soluciones, por lo tanto, cuando se desea elevar i a una potencia n ∈N0 cualquiera, se puede resolver de la siguiente manera:

1.4 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO

Forma Polar: Se dice que se puede representar un número complejo cualquiera z = a +bi en forma polar, siempre y cuando encontremos primeramente su módulo y su argumento. A ésta forma también podemos llamarla forma trigonométrica.

El módulo de un número complejo z es la longitud del vector que lo representa.

|z|=r

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