1.3 Propiedades De Los números Reales Tricotomía, Transitividad, Densidad, Axiomas Del Supremo

Los números reales son un conjunto R con dos operaciones binarias + y * el cual satisface los siguientes axiomas.

Axioma 1 Cerradura

Si a y b están en R entonces a+b y a*b son números determinados en forma única que están también en R.

Axioma 2 Propiedad Conmutativa (Suma y Multiplicación)

Si a y b están en R entonces a+b = b+a y a*b = b*a.

Axioma 3 Propiedad Asociativa. (Suma y Multiplicación)

Si a, b y c están en R entonces a+(b+c) = (a+b)+c y a*(b*c) = (a*b)*c

Axioma 4 Propiedad Distributiva.

Si a, b y c están en R entonces a*(b+c) = ab+ac

Axioma 5 Existencia de Elementos neutros.

R contiene dos números distintos 0 y 1 tales que a+0 = a, a*1 = a para a que pertenece a los reales.

Axioma 6 Elementos inversos Si a está en R entonces existe un (-a) en R tal que a + (-a) = 0 Si a está en R y a es diferente de 0 entonces existe un elemento 1/a en R tal que a*(1/a) = 1.

[+ El inverso multiplicativo de a también se representa por {$ a^{−1} $}

El primer axioma garantiza que la suma y la multiplicación son operaciones binarias en los números reales. Los axiomas 2 al 4 indican la forma de manipular algebraicamente las dos operaciones. El axioma 5 establece la existencia de dos elementos distintos 0 y 1. Y el

Último axioma indica la existencia de los elementos inverso por lo que los números reales forman un campo, nótese que en la segunda parte de este último axioma se supone diferente de cero el número a.

También es fácil ver que combinando el axioma 2 con los axiomas 5 y 6 tenemos:

0 + a = 0

1.a = a

(-a) + a = 0

(1/a)*a = 1

Como es costumbre en álgebra, el producto a*b se representará simplemente por ab, también se puede utilizar un punto a.b

Es importante aclarar que estas propiedades de campo son el resultado de muchos años de trabajo de la humanidad para poder llegar a resumir la característica algebraica de los números. En general el álgebra estudia estructuras básicas como grupos, anillos, dominios integrales, espacios vectoriales, campos, etc. que es una clasificación de acuerdo a las propiedades que satisfacen. De las mencionadas un campo es la estructura más completa, que es precisamente la estructura de los números reales.

Aparentemente, después de ver los axiomas se pensaría que faltan propiedades pues no se ha mencionado la resta ni la división, faltan potencias y raíces, y muchas otras cosas. ¿Cómo es

Posible que con estas propiedades lo demás se cumpla automáticamente?

Efectivamente, faltan las ideas de resta, división, potencias, raíces y otras más. Pero éstas

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