Algebra

Indicaciones: Resuelve los ejercicios que se te presentan a continuación.

1. Resuelve las siguientes operaciones utilizando las tablas de operaciones de los diferentes ℤn:

a) 3 + (5  4) en ℤ7

3+6 = 2

b) A (8 – 2) en ℤ16

=A (8+(-2))

=A (8+E)= AX6= C

c) 8  4 en ℤ11

= 8X4-1

=8X3 = 2

d) (8  3) + (5  4) en ℤ9

=6 + 2 = 8

e) 1 + 1 en ℤ2

=1+1 = 0

f) (5 + 4)  (5 + 4) en ℤ10

= 9+9 = 1

2. Encuentra los números que deberían estar en los cuadros para cada inciso. En caso de que no pudiese existir el número faltante entonces escríbelo y en caso que pudieran haber varias soluciones también anótalo.

a) 4 + 3 = 2 en ℤ5

b) 5  ( 1 – 3) = 4 en ℤ7

c) (9 + 3) 8 = 0 en ℤ20

3. Escribe en cada una de las líneas de la derecha la propiedad o axioma que corresponda, de acuerdo a los números reales que se están empleando.

Convertir la expresión x(a – 3b) = ax – 7b en otra expresión equivalente que muestre el valor de x en función de los otros números (suponiendo que a ≠ 0 y b ≠ 0).

x(a – 3) = ax – 7b Es la expresión inicial.

xa – x(3) = ax – 7b Axioma 5 Distributiva

ax – 3x = ax – 7b Axioma 2 Conmutativa

(–ax) + (ax – 3x) = (–ax) + (ax – 7b) Axioma 8 Inverso Aditivo

[(–ax) + ax] – 3x = [(–ax) + ax] – 7b Axioma 3 Asociativa

0 – 3x = 0 – 7b Axioma 8 Inverso Aditivo

0 + (–3x) = 0 + (–7b) Definición de la resta

(–3x) = (–7b) Axioma 6 Elemento neutro

(–3x) + 3x = (–7b) + 3x Propiedad de igualdad

0 = (–7b) + 3x Axioma 8 Inverso Aditivo

(–7b) + 0 = (–7b) + [(–7b) + 3x] Propiedad de igualdad

–7b = (–7b) + [(–7b) + 3x] Axioma 6 Elemento neutro

–7b = [(–7b) + (–7b)] + 3x Axioma 3 Asociativa

–7b = 0 + 3x Axioma 8 Inverso aditivo

–7b = 3x Axioma 6 Elemento neutro

(3 –1) (–7b) = (3 –1) (3x) Axioma 9 Inverso multiplicativo

(3 –1) (–7b) = [(3b) –1• 3] x Axioma 4 Asociatividad de la multiplicación

(3 –1) (–7b) = 1 • x Axioma 9 Inverso aditivo

(3 –1) (–7b) = x Axioma 7 Elemento neutro

(–7b)  3 = x Definición de la división

4. En la historia de la humanidad se han propuesto varios valores para la razón de las medidas de una circunferencia y su diámetro (que comúnmente llamamos ). Una de estas aproximaciones fue propuesta por Ptolomeo en el siglo II d.C. y es . Aprovechando el axioma de completez propón un número real que se encuentre entre la propuesta de Ptolomeo y el valor real de .

n <

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