AlgebraTrigonometria Y Analitica

1. De la siguiente elipse 9x2 + 3y2 = 27. Determine

a. Centro

b. Focos

c. Vértices

9x2 + 3y2 = 27 = y29+x23=1

27

y2a2+x2b2=1 

(h, k) = centro = (0,0) a = semi eje mayor = 3

b = semi eje menor = √3 la semidistancia focal c:

c = a2-b2=9-3=√6Los vértices

(h, k ± a) ⇒ (0, 0 + 3)(0, 0 - 3) ⇒ (0, 3) (0, -3) Los focos

(h, k ± c) ⇒ (0, 0 + √6) (0, 0 - √6) ⇒ (0, √6) (0, -√6)5

3. De la siguiente hipérbola 9x2 – 25y2 = 225. Determine:

a. Centro

b. Focos

c. Vértices

9x² 25y²

_____ + ______ = 1

225 225

x² y²

_____ + ______ = 1

225 225

x² y²

______ + _____ = 1

15² 15²

x² y²

____ + _____ = 1

5² 3²

C( 0 | 0 )

F₁( 4 | 0 )

F₂( -4 | 0 )

Vértices:

A ( 5 | 0 )

A' ( -5 | 0 )

B ( 0 | 3 )

B' ( 0 | -3 )

5. Demostrar que la ecuación x2 + y2 + 6x - 2y – 15 = 0 es una circunferencia.

Determinar:

a. Centro

b. Radio

x2 + y2 + 6x –2y –15 = 0  (x2 + 6y) + (y2 – 2y) = 15

(x2 + 6x + 9) + (y2 – 2y + 1) = 15 + 9 + 1  (x + 3)2 + (y – 1)2 = 25

( 6 )2 (- 2 )2 h =-3 k = 1 R2

2 2

6. De la siguiente parábola x2 + 6x + 4y + 8 = 0. Determine:

a. Vértice

b. Foco

c. Directriz

x² + 6x = - 4y - 8

x² + 6x + (b/2)² = - 4y - 8 + (b/2)²

x² + 6x + (6/2)² = - 4y - 8 + (6/2)²

x² + 6x + 3² = - 4y - 8 + 3²

x² + 6x + 9 = - 4y - 8 + 9

x² + 6x + 9 = - 4y + 1

(x + 3)² = -4(y - ¼)

(x - h)² = 4p(y - k)

Vértice: (h, k) - h = 3 ⇒ h = - 3 - k = - ¼ ⇒ k = ¼

V(-3, ¼ )

Foco: F(h, k + p) 4p = - 4 ⇒ p = - 4/4 ⇒ p = -1

F[-3, ¼ + (-1)]

F(-3, ¼ - 1)

F(-3, - ¾)

Directriz: L: y = k - p ⇒ y = ¼ - (-1) ⇒ y = ¼ + 1 ⇒ y = 5/4

...