Análisis de un manipulador de 2 grados de libertad para el control de la posición de la punta de un lápiz.

Análisis de un manipulador de 2 grados de libertad para el control de la posición de la punta de un lápiz.

Introducción

Un manipulador de 2 grados de libertad para el control de la posición de un punto en el plano es la base para otra clase de manipuladores de 4 grados de libertad, conocidos como SCARA (Selective Compliance Articulated Robot Arm), mismos que son usados ampliamente en la industria, por ejemplo, para el envase de cosméticos.  En lo que resta de este artículo, nos referiremos al manipulador que nos ocupa como manipulador 2R.  Este manipulador puede constituir el principio de funcionamiento de un graficador o plotter.

En este artículo nos concentraremos en la aplicación de la diferencial de una función de 2 variables independientes en el control de la posición de nuestro manipulador 2R.

Cinemática directa y cinemática inversa

El estudio de posición de un manipulador contempla dos problemas distintos aunque relacionados entre sí: el problema directo y el inverso.

[pic 1]

Fig. 1. Manipulador de 2 grados de libertad

Cinemática directa de posición

Para el caso de nuestro manipulador 2R, el problema directo consiste en calcular las coordenadas  del punto  cuando se conocen los ángulos  y . Véase la Fig. 1.[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

Cinemática inversa de posición

Para el caso de nuestro manipulador 2R, el problema inverso consiste en calcular los ángulos   y  con la finalidad de que el punto  tenga las coordenadas  deseadas.[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

Ser capaces de resolver el problema cinemático inverso de posición nos permite controlar los motores para producir los desplazamientos angulares requeridos a fin de obtener las coordenadas  deseadas del punto .[pic 10][pic 11]

El modo como abordaremos el estudio del manipulador 2R requiere que resolvamos primero el problema cinemático directo, y a partir de él, el problema cinemático inverso.

Solución al problema cinemático directo

Después de un atento examen de la Fig. 2, el lector se convencerá de las coordenadas del punto  vienen dadas por las siguientes expresiones:[pic 12]

                                                           ec. (1)[pic 13]

[pic 14]

Fig. 2.  Parámetros y variables relevantes para el análisis de posición del 2R.

Ejemplo

Determine las coordenadas del punto  para un manipulador 2R cuyos parmámetros son  para los ángulos .[pic 15][pic 16][pic 17]

Solución

Basta con substituir los valores dados en las expresiones anteriores para obtener:

[pic 18]

El lector puede comprobar estos resultados gráficamente, dibujando el manipulador a una escala conveniente según los datos.

Se observa que el análisis cinemático directo de posición es sencillo.

Nota: Aquí se nos han dado los ángulos en grados sexagesimales; sin embargo es conveniente acostumbrarse a trabajar con radianes, porque los cálculos para el problema inverso así lo exigen.

Solución al problema cinemático de posición inverso.

Supongamos que se nos plantea el siguiente problema:

Para el manipulador 2R del ejemplo anterior, encuentre un conjunto de valores de los ángulos   para que el punto  ocupe las coordenadas .  Llamaremos a este punto la meta final.  Podemos substituir los datos en las expresiones para resolver el problema cinemático directo:[pic 19][pic 20][pic 21]

[pic 22]

Nuestro deseo es despejar las variables ; pero el sistema de ecuaciones que tenemos a la mano es un sistema de ecuaciones no lineales, y un método para despejar las variables angulares no es aparente, por lo que recurriremos a un método numérico.[pic 23]

Estrategia

Adoptaremos como estrategia para que el punto  se desplace a las coordenadas meta el hacer multitud de pequeños desplazamientos a partir de la configuración actual del manipulador.[pic 24]

Calculemos el vector desplazamiento deseado, esto es, la diferencia de las coordenadas de destino menos las coordenadas actuales:

[pic 25]

Supongamos que decidimos efectuar este desplazamiento en línea recta subdividiendo el segmento de recta en 100 pequeños desplazamientos, a los que consideraremos desplazamientos diferenciales.  Para calcular estos pequeños desplazamientos multiplicamos el vector que acabamos de obtener por el escalar , con lo que obtenemos:[pic 26]

[pic 27]

Sumar este vector al vector de posición orignal resulta en el vector de posición:

[pic 28]

Llamaremos a este vector la meta próxima.

El desplazamiento diferencial  tiene la estructura:[pic 29]

                                                                        (2)[pic 30]

Podemos escribir este vector diferencial como una matriz columna:

                                                                               (3)[pic 31]

Tanto  como  son funciones de dos variables independientes, que en este caso son  y , así que sus diferenciales son:[pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]

                                                                 (4)[pic 36]

En forma matricial:

                                                                 (5)[pic 37]

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