PID con 2 grados de libertad

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Control Automático Avanzado

DISEÑO DE CONTROLADOR PID CON DOS GRADOS DE LIBERTAD

EVALUACIÓN

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA

CURSO: CONTROL AUTOMÁTICO AVANZADO

PROFESOR:                

DISEÑO DE CONTROLADOR PID CON 2 GRADOS DE LIBERTAD

1. Presentación del Problema

2. Se dispone de una planta de segundo orden representado por la siguiente ec. diferencial:

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El sistema de control con dos grados de libertad tiene el diagrama en bloques siguiente:

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Se dispone de los controladores:

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En este último la acción derivativa podría ser cero.

Diseña los controladores  de forma que las respuestas a las entradas de perturbación y de referencia escalones deberán:

a.-        Ante una perturbación escalón la respuesta deberá tener un peak pequeño y luego tender a cero.

b.-        La respuesta a una entrada escalón deberá presentar una Mp < 25% con tiempo de asentamiento menor a 2 segundos.

c.-        Los errores en régimen permanente ante entradas escalón, rampa y aceleración deberán ser cero.

Diseña este sistema de control de dos grados de libertad siguiendo los dos pasos de diseño vistos en el ejemplo, considera N(s) = 0:

a.-        Determinar Gc1(s) de forma que la respuesta a la perturbación escalón es de la característica pedida.

b.-        Determina Gc2(s) de forma que la respuesta a referencia escalón, rampa y aceleración sean las requeridas sin cambiar la respuesta a perturbación.

1. Desarrollo

Lo primero es encontrar la función de transferencia de nuestra planta, desarrollando la  ecuación diferencial propuesta:

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        Con la cual obtenemos nuestra Función de Transferencia:

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Diseño de Gc1(s): En primer lugar, la entrada de ruido N(s) era cero, según el problema propuesto. Para obtener la respuesta a la entrada de perturbación en escalón, se supone que la entrada de referencia es cero. Entonces se puede dibujar, tal como se muestra en la Figura 1, el diagrama de bloques que relaciona Y(s) y D(s). La función de transferencia Y(s)/D(s) está dada por:

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Figura 1.Sistema de Control

Dónde se según se expresa en el enunciado:

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Este controlador contiene un polo en el origen y dos ceros. Si se supone que los dos ceros están localizados en el mismo lugar (un cero doble), entonces Gc1(s) lo escribimos como:

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y la ecuación característica para el sistema lo escribimos como:

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Para encontrar los valores de K y a utilizamos un programa en MatLab para buscar la mejor respuesta en un rango de valores. El grafico obtenido se aprecia en la figura 3 y el programa utilizado se observa en la figura 2

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clc

clear

k=[4.6 4.8 5.0]; %declaracion de variables

a=[3.6 3.8 4.0]; %declaracion de variables

t=0:0.01:3;  %declaracion de tiempo de 0 a 5 seg en intervalos de 0.01

G=tf([5],[1 6 5]); %funcion de transferencia de la planta

K=0; %variable auxiliar para el programa

for i=1:3; %ciclo para k

    for j=1:3; %ciclo para a

        Gc1=tf(k(i)*[1 2*a(j) a(j)^2],[1 0]);

        Glc=(G/(1+G*Gc1));

        y=step(Glc,t);

        m=max(y);

        if m<2;

            K=K+1;

            solucion(K,:)=[k(i) a(j) m];

            FdT(K,:)=Glc;

        end

    end

end   

Sol_ord = sortrows(solucion,3)

subplot(2,2,1),step(FdT(1),FdT(2),FdT(3),FdT(4),FdT(5),FdT(6),FdT(7),FdT(8),FdT(9),t)

grid

title('Respuesta a Escalon unitario Y(s)/G(s)')

Figura 2. Programa MatLab

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Figura 3. Respuesta a rango de valores para K y a

        De la gráfica obtenida elegimos la que muestra el menor sobre impulso y se estabiliza más rápido antes de los 2 segundos, y luego tomamos los valores de K y a que nos dan esa respuesta. Para nuestro caso el valor de K= 5 y a=4.

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