Modelacion de 2 grado

1    Sistema de  segundo orden

Considerando un sistema  de segundo orden de la forma:

De la cual debera  obtener:

• Ecuacion  diferencial.

Y (s)

U (s)[pic 1]

              kw2          

n

=

s2 + 2ξwn s + w2

n

(1)

• Respuesta del sistema debida a una entrada escal´on, rampa,  e impulso(solucion matematica).

• Solucion de la respuesta  al sistema  debida  a las tres  entradas aplicando

L−1 . Muestre  la metodolog´ıa.

• Yss  en regimen permanente debida a las tres entradas, evaluado en funcion de t y de la variable  compleja  s.

• Apartir del  analisis  obtenido  considere  los valores  k  = 1/2, wn   = 4 y

ξ = 0.3.

•  Obtenga tr , tp , ts , Mp

•  Obtenga la funcion de trabsferencia del sistema.

• Grafique  y compruebe  los resultados.

• Grafique la colocacion de polos y ceros del sistema  en el plano complejo s.

• Concluya

Acontinuacion se mostrara la  metodologia  y  resultados obtenidos  para  cada punto  de este ejercicio:

1.  Ecuacion  diferencial

• Se tiene que.

• Entonces.

Y (s)

U (s)[pic 2]

              kw2          

=

n

s2 + 2ξwn s + w2

n

(2)

y(s)  s2  + 2ξωn s + ω2   =  kω2   (u(s))                   (3)

• Se obtiene.

d2  y

n              n

2  dy        2                  2

dt2   + 2ξωn dt  + ωn y = kωn ut                            (4)

• La ecuacion diferencial  queda  como.

y¨ + 2ξωn y˙ + ω2  = kω2 u                                 (5)

n          n

2.  Respuesta del sistema debida a una entrada escal´on, rampa,  e impulso(solucion matematica).

• Respuesta a entrada escalon.

              w2

    k  

                   n                            

(6)

s2  + 2ξwn s + w2           s

n

• Respuesta a la entrada rampa.

              w2

    k  

                   n                                    

(7)

s2  + 2ξwn s + w2           s2

n

• Respuesta a la entrada impulso.

                 w2          

n

s2  + 2ξwn s + w2

n

(k)                                 (8)

3.  Solucion de la respuesta  al sistema  debida  a las tres  entradas aplicando

L−1 . Muestre  la metodolog´ıa.

• L−1  del sistema  aplicando  una entrada escal´on.

–  Se tiene la ecuacion general de transferencia multiplicada por la entrada escalon.

                    kω2          

n

(s2  + 2ξωn  + ω2 ) (s)

n

(9)

–  Por  consiguiente,  como no se puede  hacer  la inversa  de Laplace directamente, utilizaremos  el metodo  de fracciones parciales.

                    kω2          

n

A           Bs + C         

n

=    +

(10)

(s2  + 2ξωn  + ω2 ) (s)

n

s      s2  + 2ξωn  + ω2

–  Por  lo tanto, tenemos  que  dejar  a  kω2   individuales  para  una mejor resolucion.

  A

kω2 =  s  s2  + 2ξωn  + ω2            +

Bs + C

(11)

n        s      s2  + 2ξωn  + ω2[pic 3]

n

–  Ahora  tenemos  que encontrar las variables  A y B − C para  los coeficientes.   Para  esto  proponemos  un  valor  de s, el cual  sera s = 0

...