CONCEPTOS PREVIOS
Enviado por darksidersxp • 15 de Marzo de 2015 • Tarea • 1.956 Palabras (8 Páginas) • 160 Visitas
I. CONCEPTOS PREVIOS
1) PAR ORDENADO
Conjunto de dos elementos, en donde el orden en que estén ubicados (los elementos) indica una característica de los mismos.
(a ; b )
1° componente 2° componente
(abscisa) (ordenada)
Luego : Si (a; b) = (m ; n)
Entonces : a =m b =n
2) PRODUCTO CARTESIANO
Es un conjunto que genera pares ordenados.
Si A y B son conjuntos no vacíos.
A x B = {(a.b) / a A b B}
Ejemplo :
Si: A = {1, 2, 3} B = {7, 8}
A x B = {(1; 7), (1; 8) , (2; 8), (2; 8), (3; 7) , (3, 8)}
B x A = {(7; 1) , (7; 2), (7; 3), (8; 1), (8; 2), (8; 3)}
Luego A x B B x A
3) PLANO CARTESIANO
Es aquél donde se ubican los puntos generados por los pares ordenados.
II. FUNCIÓN
1) DEFINICIÓN
Dados dos conjuntos no vacíos A y B llamamos función definida en A con valores en B, o simplemente función de A en B a toda correspondencia f que asocia a cada elemento x A un único elemento , y B.
Notación : f: A B v A B
Se lee f es función de A en B.
Ejemplo :
F = {(2;3), (4; 7), (8; 9), (5 ; 0)} Función
G = {(3; 8), (5; 1), (3;2), (7; -3) } relación
No es función
I = {(1; 6), (3; 2), (4; 5), (1; 6)} Función
es la misma
Nota :
Si (a; b) F entonces F(a) = b
“b”Es la imagen de ”a” en F.
Ejemplo :
F = {(4; 0) , (6; -1), (8; 2)}
F(4) = 0 ; F(6) = -1 ; F(8) = 2
Regla de Correspondencia : y = F(x)
Variable Variable
dependiente independiente
Ejemplo : y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3
F(1) = 5 F(3)=9 F(5) =13 F(0) = 3
F= {(1; 5) , (3; 9), (5; 13) (0; 3)}
Del proceso anterior podemos decir que una relación algebraica entre la abscisa (x) y la ordenada (y) genera pares ordenados.
Teorema.- Si f es una función de R en R toda recta paralela al eje “y” corta la grafica a los más en un punto.
2) DOMINIO
Es el conjunto de valores que puede tomar la 1ra componente (abscisa) considerando las restricciones.
3) RANGO
Es el conjunto de valores que asume la 2da componente (ordenada) de acuerdo al dominio.
Ejemplo:
F: {(2; 5), (3; 7), (8;4), (0; 4)}
Dom. F = (2; 3 ; 8;0}
Ran. F = (5; 7 ; 4}
4) FUNCIONES ESPECIALES :
4.1. Función Constante:
Regla de correspondencia
f(x) = C
Df = R ; Rf={C}
4.2. Función Identidad
Regla de correspondencia:
f(x) = x
Df=R ; Rf=R
4.3. Función Valor Absoluto :
Regla de correspondencia :
x; si x 0
f(x) = |x| =
-x; si x < 0
Df = R ; Rf = R0+
4.4. Función lineal :
4.5.
Regla de correspondencia:
f(x) = ax + b ; a 0
Df = R ; Rf=R
4.6. Función cuadrática :
Regla de correspondencia :
f(x) = x2
Df=R ; Rf = R+0
4.7. Función raíz cuadrada:
Regla de correspondencia :
f(x) =
Df = R+0 ; Rf=R+0
5) OPERACIONES CON FUNCIONES
Si :
F = {(x, y) / y =f(x)}
G = {(x, y) / y = g(x)}
5.1. Adición:
F+G ={(x, y)/ y= f(x) + g(x), x Df Dg }
5.2. Sustracción :
F–G = {(x, y) / y = f(x)–g(x) , x Df Dg }
5.3. Producto :
F.G = {(x, y) / y = f(x) . g(x) , x Df Dg}
5.4. Composición :
F o G = F(G(x))
Donde :
DF o G = {x/x Dg g(x) Df}
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Halla el dominio de la función:
f(x) =
Solución :
f(x) es real por tanto :
x – 1 0 6 – x 0
x 1 x 6
1 x 6
[1; 6]
2) Cuál es el dominio de la función :
f(x) =
Solución :
f(x) es real
x2 – 10x + 9 0
(x – 1) (x – 9) 0
x < - ;1 ] U [ 9; + >
ó x R - <1; 9>
3) Halla una ecuación lineal F(x) tal que :
F(2) = 3
F(3) = 2F(4)
Solución :
La función es : F(x) = ax + b
Luego :
F(2) = 2 a + b = 3
F(3) = 2F(4)
3a + b = 2(4a + b)
3a + b = 8a + 2b
5a + b = 0 -
2a + b = 3
3a = -3
a=-1
5(-1) + b = 0
b = 5
4) Si :
F ={(1;2);(3; m-2);(1;n+1); (4; 6)
(3; 6-m); (6; 2) }
Es una función :
Halla : E = mn + nm
Solución :
(1; 2) = (1; n + 1)
n + 1 = 2 n =1
(3; m-2) =(3; 6-m)
m – 2 = 6-m
m = 4
E = 41 + 14 = 5
5) ¿Cuál es el rango de la función:?
F ={(1;3),(2; 5),(1;a-1),(2; b+2),
...