CONTROL 8 FUNDAMENTOS NUMERICOS

Desarrolle y responda las siguientes preguntas, justificar matemáticamente su desarrollo.

Demuestre que la función definida por , es:

Creciente. De no serlo, indique intervalo de crecimiento y de decrecimiento

Uno a uno. De no serlo, acote el dominio de la función

Determine su inversa (1 punto)

Desarrollo respuesta a):

Antes que todo debemos encontrar la derivada de f(x)

f (x) = 6x+2.

Ahora la igualamos a 0, para hallar los puntos críticos:

6x+2=0

6x=-2

x=(-1)/3

<(-1)/3

<(-1)/3<0∶Decreciente

=(-1)/3 (-1)/3= 0∶Mínimo relativo

>(-1)/3 >0∶Creciente

Se reeemplaza un valor menor a(-1)/3 en la función derivada(por ejemplo -1, y como es negativa, entonces se cumple que x es decreciente para valores de (-1)/3

Por dato del problema el dominio es x f [-2,2]

Se concluye que f(x) es decreciente en el intervalo de -2, (-1)/3 > y creciente para valores de <-(-1)/3 ,2]

Para hallar la inversa, primero se cambia “y” por ”x”:

x=〖3y〗^(2 )+2 x 2y

Ahora se despeja y en función de x:

Se despejar “y”:

Primero el coeficiente del y^(2 ) tiene que ser 1, para ello se divide todo entre tres:

x/3= y^2 〖+( 2/3)y 〗^

Ahora se divide la mitad del coeficiente de “y”, luego se eleva al cuadrado sumándola y restándola para que no cambie:

x/(3 ) = y^2+(2/3)y + (1/9) – (1/9)

Se forma un binomio al cuadrado

x/(3 ) = (y +1/3)2 - (1/9)

Finalmente se despeja el valor de y.

Respuesta: (3x+1/9) - 1/3 = f^-1(x

Respuesta b:

Criterios de la 1ra derivada

Con la 1ra derivada se obtienen los puntos críticos, que son los puntos en los que se

producen cambios de creciente a decreciente o viceversa.

- En los puntos donde f '(x)=0 son los puntos críticos

- En los puntos donde f '(x)>0 son crecientes (siempre forman un intervalo)

- En los puntos donde f '(x)<0 son decrecientes (siempre forman un intervalo)

2. Uno a uno. De no serlo, acote el dominio de la función

Como f(x)=3x²+2x su dominio son los números reales Dom=[x/x E |R}

y lo acotamos en base a las partes del dominio creciente , decreciente y valor crítico

de los |R, (-∞,-1/3) es decreciente y del intervalo (-1/3, ∞) es creciente y x=.-1/3 es el valor crítico

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