Como Funcionan Los Instrumentos De Cuerdas

Principios de funcionamiento de los Instrumentos de Cuerda

El mecanismo básico que produce el sonido en todos los instrumentos de cuerda es el mismo, la única diferencia es que para obtener la vibración, en algunos casos la cuerda se frota, mientras que en otros se pulsa, o por último se golpea.

Onda Transversal propagándose a través de la cuerda

En primera instancia se debe abandonar la idea de que la cuerda es inextensible. Se tiene una cuerda que en equilibrio tiene una densidad lineal de masa y está bajo la acción de una tensión cuya magnitud es F. En la siguiente figura A se ilustra un elemento de cuerda dx. Si se somete la cuerda a pequeñas elongaciones transversales (figura B), la tensión es prácticamente la misma tensión de equilibrio, de magnitud F. La sección izquierda del elemento está desplazada en y, la sección derecha en y + dy . Aquí dy es la deformación transversal del elemento de cuerda. Sin embargo debe mantenerse presente que el elemento dx se deformó en .

Aplicando la segunda ley de Newton al elemento de cuerda de longitud dx, y sabiendo que la aceleración de vibración de su centro de masa es , se obtiene,

Las componentes horizontales de la tensión, se cancelan y se ha despreciado la fuerza de gravedad, ya que es muy pequeña en comparación con la tensión. Aplicando la ley de Hooke,

y por tanto se obtiene la ecuación de ondas,

donde las derivadas quedan evaluadas en x (el centro de masa se acerca al extremo izquierdo del elemento tanto como queramos).

Como demostraremos a continuación. la solución de esta ecuación de ondas representa una onda que se propaga a través de la cuerda con una velocidad V:

F se mide en N y se mide en Kg.m-1

Con esta expresión se calcula la velocidad de propagación de las ondas transversales en una cuerda para pequeñas elongaciones. Esta deducción coincide con lo obtenido en la ecuación diferencial de onda generalizada ya que para la cuerda .

Solución general de la ecuación de ondas

La solución general de la ecuación de ondas es de la forma (en lugar de llamar V, hemos llamado 'c' a la velocidad de propagación):

y = f(c∙t - x) + g(c∙t + x)

donde f(c∙t - x) y g(c∙t + x) son funciones arbitrarias cuyos argumentos son (c∙t - x) y (c∙t + x).

Si dibujamos la función f(c∙t - x) en el instante t = 0, obtenemos la curva yo = f (-x), que podemos suponer tiene la forma de la siguiente figura (a). En un instante de tiempo tal que t = 1, la curva que representa será:

y = f(c - x) = f [-(x-c)]

Se observa en la figura b, a la función para t = 1, que es idéntica a la función para t = 0, excepto que cada valor particular del desplazamiento y, se presenta en x - c, y en x, por ejemplo, el desplazamiento y1 en x1 es el mismo que yo en xo si x1 - c = xo. Si escribimos esta igualdad de la forma x1 = xo + c, se demuestra que la curva tiene un cambio a una distancia c a la derecha después de un tiempo de un segundo. Por tanto, y = f(c∙t-x) representa una onda que se mueve hacia la derecha, en la dirección de las X positivas con la velocidad c. Análogamente se puede demostrar que y = g(c∙t + x) representa una onda que se mueve hacia la izquierda con velocidad c.

Debemos recordar que la forma de la onda correspondiente para cada una de las dos funciones arbitrarias permanece constante a lo largo de la cuerda. Esta conclusión no es completamente cierta en la práctica, ya que hemos hecho unas suposiciones para encontrar la ecuación de ondas que no se cumplen estrictamente en las cuerdas reales, ya que estas tienen espesor y existen fuerzas disipativas, lo que originará que las ondas que se propaguen presenten distorsión. Para cuerdas relativamente flexibles y con pequeño amortiguamiento, como en los instrumentos musicales, la distorsión es pequeña si la amplitud de las perturbaciones es también reducida; pero para amplitudes grandes el cambio de la forma de la onda puede ser pronunciado.

Condiciones iniciales y de frontera

En la práctica, las funciones f(c∙t - x) y g(c∙t + x) no son completamente arbitrarias, están limitadas por varios tipos de condiciones iniciales y frontera. Para las vibraciones libres de las cuerdas, la forma matemática para las condiciones iniciales es que, por ejemplo, los valores para t = 0 están determinados por el tipo y punto de aplicación de la fuerza de excitación que se aplica a la cuerda. En los instrumentos musicales las cuerdas pueden entrar en vibración principalmente por tres procedimientos, en primer lugar, pulsándolas como en el arpa, guitarra, laúd, etc.; en segundo lugar golpeándolas como en el piano, y en tercer lugar pueden ser friccionadas como en el violín, contrabajo, etc.

Además, estas funciones están limitadas por las condiciones frontera en los extremos de la cuerda. Las cuerdas reales tienen una longitud finita y están fijas de alguna forma en sus extremos. Si, por ejemplo, los soportes de la cuerda son rígidos, lo que es cierto para casi todas las cuerdas, la suma de las funciones f + g tiene un valor nulo en cualquier instante para los puntos extremos de la misma. El efecto más importante de este tipo de condición frontera es la necesidad de que el movimiento de la vibración libre de la cuerda sea periódico.

Ondas estacionarias en una cuerda con extremos fijos

A continuación se ilustra una cuerda atada en sus extremos (como una cuerda de guitarra). En este caso se dice que las fronteras de la cuerda son dos nodos.

Cuando se perturba la cuerda, por ejemplo en su extremo izquierdo, se genera una onda que se denomina la onda incidente, , la cual al reflejarse en el extremo derecho origina una segunda onda que se denomina reflejada, , que tiene la misma frecuencia y longitud de onda,

,

Por lo tanto, la cuerda oscilará con una superposición de estas dos ondas:

Las condiciones de frontera son:

Aplicando la primera condición, ,

es decir, (valores más representativos). Si se toma el valor de , se obtiene, , lo cual no es posible puesto que ambas amplitudes deben ser positivas (amplitudes negativas no tienen interpretación física). Por lo tanto y , es decir,

es importante anotar que corresponde a una diferencia de fase entre la onda incidente y la reflejada en x=0 de ,

En definitiva, la cuerda oscila con una superposición de dos ondas viajeras propagándose en sentidos opuestos pero con todos sus parámetros iguales (amplitud, número de onda, longitud de onda, frecuencia, período).

A

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