Construcción De Los números Racionales

Construcción de los números irracionales

Un número irracional es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser expresado como una fracción , donde m y n son enteros, con n diferente de cero y donde esta fracción es irreducible. un número irracional es un número de infinitas cifras decimales no periódicas.

Los números irracionales se clasifican en dos tipos:

Número algebraico:

Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados; si "x" representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos. de la forma:

a_n x^n+a_(n-1) n^(n-1)+⋯+a_1 x+a_0=0

las propiedades de los algebraicos son

Todos los números algebraicos son computables y por tanto definibles.

El conjunto de números algebraicos es numerable.

El número imaginario i es algebraico (es solución de x2 + 1 = 0).

Todos los números racionales son algebraicos, pero un número irracional puede ser o no algebraico

Ejemplos :

siendo un ejemplo x^2=2

su solución seria el numero irracional √2

otro ejemplo seria la ecuación〖 x〗^2+13x+71

cuya solución seria el numero irracional (-13+√(-115))/2

Número trascendente:

No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes (trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, etc.) También surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido, respectivamente,

Este último tipo, se diferencia del anterior porque no puede ser el resultado de una ecuación algebraica, en otras palabras, son relevantes a la clasificación porque no tienen una representación con un número radical

Sin embargo, existen muy pocos números trascendentes conocidos, y demostrar que un número es trascendente puede ser extremadamente difícil. Por ejemplo, todavía no se sabe si la constante de Euler ( ) lo es, siendo

γ=1+1/2+1/3+1/4+⋯+1/n-ln⁡(n),cuando n→+∞

Los logaritmos naturales de reales positivos, salvo, potencias de 10, son números trascendentes, de la misma manera los valores de funciones trigonométricas, excepto en algunos casos; hay forma de dar un número trascendente a través de fracciones continuadas, como el caso del número de Arquímedes o π^6 La dificultad estriba en probar si el número propuesto es o no trascendente.

Alguno de los números trascendentes son:

- =3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582…

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