DIDACTICA

Teoría de Conjuntos

NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO

Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo.

Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a  A.

En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a A.

Ejemplos de conjuntos:

o  : el conjunto vacío, que carece de elementos.

o N: el conjunto de los números naturales.

o Z: el conjunto de los números enteros.

o Q : el conjunto de los números racionales.

o R: el conjunto de los números reales.

o C: el conjunto de los números complejos.

Se puede definir un conjunto:

o por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.

o por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.

Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión,

o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:

o A := {1,2,3, ... ,n}

o B := {p Z | p es par}

Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B),

y se denota A  B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a  A  a  B.

Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A  B y B  A; esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).

Para cualquier conjunto A se verifica que  A y A  A;

B  A es un subconjunto propio de A si A   y B  A.

El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota  (A).

Entonces, la relación B  A es equivalente a decir B   (A). Ejemplos:

Si A = {a,b} entonces  (A) = { ,{a},{b},A}.

Si a  A entonces {a}  (A).

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U,

se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A  B := {a  A | a  B}.

Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A  B := (A  B)   A

Si A   (U), a la diferencia U  A se le llama complementario de A respecto de U,

y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).

Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:

o  ' = U .

o U ' = .

o (A')' = A .

o A  B  B'  A' .

o Si A = { x  U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x  U | p(x) es una proposición falsa}.

Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B,

es decir: A  B := { x | x  A  x  B}.

Se llama intersección de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A y de B,

es decir: A  B := {x | x  A  x  B}.

Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A B = A  B'.

En este caso, la llamadas operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades :

PROPIEDADES UNION INTERSECCION

1.- Idempotencia A  A = A A  A = A

2.- Conmutativa A  B = B  A A  B = B  A

3.- Asociativa A  ( B  C ) = ( A  B )  C A  ( B  C ) = ( A  B )  C

4.- Absorción A  ( A  B ) = A A  ( A  B ) = A

5.- Distributiva A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C ) A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C )

6.- Complementariedad A  A' = U A  A' = 

Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una estructura de álgebra de Boole.

Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:

o A   = A , A   =  ( elemento nulo ).

o A  U = U , A  U = A ( elemento universal ).

o ( A  B )' = A'  B' , ( A  B )' = A'  B' ( leyes de Morgan ).

Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de pares ordenados:

A  B := { (a,b) : a  A  b  B}

Dos pares (a,b) y (c,d) de A  B son iguales si a = c y b = d; análogamente, dados cuatro conjuntos A,B,C,D se verifica

A  B = C  D  ( A = C  B = D )

Se llama grafo relativo a A  B a todo subconjunto G  A  B.

Dado un grafo G relativo a A  B, se llama proyección de G sobre A al conjunto

ProyAG := { a  A : (a,b)  G,  b  B}

Análogamente se define la proyección ProyBG de G sobre B.

Por último, los conceptos anteriores pueden generalizarse a familias de conjuntos.

Si para cada elemento i de un conjunto (de índices ) I se tiene un conjunto Ai , entonces se define el conjunto { Ai : i  I }

y se denomina familia de conjuntos indicada por I. También se suele denotar por { Ai } i  I .

De forma análoga se define una familia de elementos ( ai ) i  I .

Dada una familia de conjuntos { Ai } i  I se definen:

o  i I Ai := { a : a  Ai ,  i  I }

o  i  I Ai := { a : a  Ai ,  i  I }

o  i  I Ai := { (ai) : ai  Ai ,  i  I }

Las

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