DISEÑO EXPERIMENTAL CON BLOQUES AL AZAR Y DISEÑOS FACTORIALES

DISEÑO EXPERIMENTAL CON BLOQUES AL AZAR Y DISEÑOS FACTORIALES

Introducción

Los modelos de diseño de experimentos son modelos estadísticos clásicos cuyo objetivo es averiguar si unos determinados factores influyen en una variable de interés y, si existe influencia de algún factor, cuantificar dicha influencia.

5.1 Metodología del Diseño Experimental de bloques al Azar

La metodología del diseño de experimentos se basa en la experimentación.

Es sabido que si se repite un experimento, en condiciones indistinguibles, los resultados presentan una cierta variabilidad. Si la experimentación se realiza en un laboratorio donde la mayoría de las causas de variabilidad están muy controladas, el error experimental será pequeño y habrá poca variación en los resultados del experimento. Pero si se experimenta en procesos industriales o administrativos la variabilidad será mayor en la mayoría de los casos.

El objetivo del diseño de experimentos es estudiar si cuando se utiliza un determinado tratamiento se produce una mejora en el proceso o no. Para ello se debe experimentar aplicando el tratamiento y no aplicándolo. Si la variabilidad experimental es grande, sólo se detectará la influencia del uso del tratamiento cuando éste produzca grandes cambios en relación con el error de observación.

La metodología del diseño de experimentos estudia cómo variar las condiciones habituales de realización de un proceso empírico para aumentar la probabilidad de detectar cambios significativos en la respuesta; de esta forma se obtiene un mayor conocimiento del comportamiento del proceso de interés.

Para que la metodología de diseño de experimentos sea eficaz es fundamental que el experimento esté bien diseñado.

Un experimento se realiza por alguno de los siguientes motivos:

— Determinar las principales causas de variación en la respuesta.

— Encontrar las condiciones experimentales con las que se consigue un valor extremo en la variable de interés o respuesta.

— Comparar las respuestas en diferentes niveles de observación de variables controladas.

— Obtener un modelo estadístico-matemático que permita hacer predicciones de respuestas futuras.

Metodología del diseño experimental de bloques al azar.

Los diseños de bloques al azar (DBA) son clasificados de acuerdo al número de tratamientos que pueden ser colocados en el bloque. En general, un diseño de bloques al azar consiste en bloques que contienen unidades experimentales, con cada uno de los tratamientos replicados veces, Los diseños de bloques pueden ser clasificados así:

1. Diseño de Bloques Completamente al azar. En éste cada tratamiento ocurre una sola vez en cada bloque

2. Diseño de Bloques al Azar Generalizado. Los tratamientos aparecen todos en cada bloque pero pueden ocurrir más de una vez.

3. Diseño de Bloques Incompletos. Es caracterizado porque no todos los tratamientos ocurren en cada bloque. Estos diseños son llamados diseños no ortogonales. Entre estos tenemos:

Diseño de Bloque Incompleto Balanceado.

Diseño de Bloque Incompleto de Tratamiento Balanceado

Diseño de Bloque Incompleto Parcialmente Balanceado

Diseño Latice

Diseño de Bloque Extendido. Si cada bloque contiene el mismo numero de UE que es mayor que el número de tratamientos

Diseño de Bloque Trend-free.

Modelo Estadístico

Para este diseño el modelo lineal esta dado por

Donde es la media global de los tratamientos, es el efecto del tratamiento el cual es constante para todas las observaciones dentro del tratamiento, es el efecto del bloque, es el término del error aleatorio, el cual se distribuye normal e independiente con media 0 y varianza . Las restricciones del modelo son

Estimación de parámetros

Al aplicar el método de mínimos cuadrados, se obtiene como estimadores de los parámetros

Tabla Anova - Análisis de Varianza

La tabla de análisis de varianza para este diseño se presenta a continuación:

Tabla 02. Análisis de varianza para un diseño de bloques completos al azar

Causa de

variación

Grados de

libertad

Suma de

cuadrados

Cuadrado

medio

Valor esperado de

cuadrados medios

Tratamientos

Bloques

Error

Total

Para contrastar las hipótesis de no efectos de tratamientos

Se puede utilizar el cociente

Ya que si es cierta y así , lo cual quiere decir que es un estimador insesgado de y como además es también un estimador de entonces de tienen dos estimadores insesgados de y por tanto su cociente deber ser un valor estadísticamente cercano a 1.

Supuestos del modelo

El residual en un diseño de bloques completos al azar es dado por

Los supuestos del modelo son:

El modelo es aditivo, es decir no existe interacción entre bloques y tratamientos

Las variables aleatorias error se distribuyen normal con media cero

Las variables aleatorias error son no correlacionadas(independientes)

Otra manera de enunciar los supuestos es:

. Los efectos de tratamientos y bloques son aditivos; las respuestas dentro de los bloques tienen la misma tendencia con respecto a los efectos de los tratamientos.

Las observaciones en las celdas constituyen muestras aleatorias de tamaño 1 de cada una de las poblaciones Todas las poblaciones son normalmente distribuidas,

Las varianzas de cada una de las poblaciones son iguales

Si la primera condición se tiene se dice que los efectos de bloques y tratamientos no interactúan y una prueba para la no aditividad es debida a Tukey(1949) y Ascombe.

5.2 Diseño de experimentos factoriales

Todo fenómeno que podemos observar, y que presenta características susceptibles de ser medidas, exhibe un comportamiento variable. Sea este fenómeno un proceso llevado a cabo en un laboratorio de precisión, en que se puede tener un alto grado de control sobre los factores que causan variación, sea un proceso de fabricación con avanzada tecnología, o sea un fenómeno en que interviene en forma importante el ser humano, como los de tipo social, psicológico o económico. En el primer caso la variación es muy pequeña, casi imperceptible, pero aun así existe. En el caso de los fenómenos de tipo humano, donde las fuentes de variación son numerosas, cuesta distinguirlas, y sus causas son difíciles de aislar y más aún de medir, la variación es muy grande.

La variabilidad y la calidad son conceptos que se contraponen; puede definirse la calidad como la reducción de la variabilidad. Consecuentemente, el logro del mejoramiento de la calidad de lo que entrega un proceso, depende en gran medida del grado con que se pueden identificar y cuantificar las fuentes de variación de cada una de las etapas del proceso. Sólo reduciendo la variabilidad y logrando diseñar procesos estables se puede mejorar la calidad de los productos y servicios.

La estadística es la tecnología desarrollada específicamente para el estudio, análisis y comprensión de la variabilidad de los procesos. De ahí que prácticamente todos los métodos estadísticos sean útiles para el desarrollo de sistemas de mejoramiento de la calidad.

Pero tal vez el tipo de situación en que, potencialmente, hay más aplicación de la tecnología estadística, es la determinación de factores que causan variación, en el resultado de un proceso de producción o de servicio; la cuantificación del efecto que cada uno de ellos tiene sobre esa variación, y el estudio de la forma en que se combinan y afectan conjuntamente la variación. Todo esto conforma un experimento, y la manera de llevarlo a cabo es hacer variar los factores que potencialmente influyen sobre un fenómeno, y observar su efecto, de modo de poder determinar si efectivamente son causa de variación. Y si lo son, cuantificar el grado de influencia de cada uno, comparando los efectos que se producen, como respuesta a diferentes cantidades o calidades de los factores.

Definiciones. En relación a un estudio del tipo descrito anteriormente, se pueden definir los siguientes conceptos:

Experimento. Un estudio en el que el investigador tiene un alto grado de control sobre las fuentes de variación importantes, se denomina experimento. Si se tiene poco control sobre los factores, se habla de un estudio observacional.

Factores. Los fenómenos que potencialmente causan variación, y que son controlados por el experimentador, se denominan factores. También se denominan tratamientos.

Niveles de un factor. Son los valores que toma un factor. En general toman valores que se miden en escala categórica, aunque a veces suelen ser medidos en escalas numéricas.

Combinación de Tratamientos. Cada una de las combinaciones de niveles de todos los factores involucrados en el experimento.

Corrida Experimental. Cada una de las fases en que se lleva a cabo el experimento. Cada corrida experimental corresponde a una realización del experimento, bajo una determinada combinación de tratamientos, y produce una observación.

5.3 Diseño factorial 2°k

Principios y definiciones básicas

Muchos experimentos se llevan a cabo para estudiar los efectos producidos por dos o más factores. Puede mostrarse que en general los diseños factoriales son los más eficientes para este tipo de

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