Diseño De Bloques

FACTORIAL COMPLETO EJEMPLOS

EJEMPLO 1

1. Planteamiento del problema

Se quiere comprobar el rendimiento de una reacción con un nuevo catalizador. Un solo experimento no parece suficiente. Sería una lástima rechazar el catalizador si el rendimiento no es el deseado sólo porque otras variables que influyen en la reacción no se han ajustado a sus valores óptimos para ese catalizador. Por tanto, se pretende determinar en qué grado estas otras variables pueden afectar al rendimiento y cómo se pueden variar para mejorarlo.

2. Factores y dominio experimental

Basándose en la experiencia previa, bibliografía o las necesidades de la experimentación (criterios de rentabilidad, limitaciones experimentales,...), el equipo que lleva a cabo el estudio debe escoger qué factores interesa estudiar y qué valores pueden tomar (el dominio experimental). La Tabla 1 muestra los dos factores escogidos. Como ambos factores son continuos, su dominio experimental se expresa con los valores máximo y mínimo que pueden tomar. En nuestro ejemplo se consideró que el tiempo de reacción debía ser inferior a 8 horas para que el proceso fuera rentable, y superior a 6 horas para asegurar que el rendimiento fuera suficiente. Era preferible trabajar a temperatura baja (40°C) pero se estaría dispuesto a alcanzar los 80°C si el rendimiento mejorase apreciablemente.

Tabla 1. Factores y dominio experimental.

Factores Dominio Experimental

Nivel (-) Nivel (+)

x-i : Tiempo de reacción (horas) 6 8

x2 : Temperatura (°C) 40 80

La Tabla 1 también muestra la notación codificada más habitual para factores continuos: se asigna el valor -1 al extremo inferior del dominio experimental y el valor +1 al extremo superior . Para simplificar a menudo sólo se indican - y +. Es necesario definir la correspondencia entre variables reales y codificadas porque el diseño de experimentos describe la experimentación óptima empleando variables codificadas (x1, x2,...) sin dimensión. De este modo las herramientas matemáticas y estadísticas son generales y se pueden aplicar a cada problema concreto.

3. Matriz de experimentos: el diseño factorial completo 2

La siguiente etapa es escoger la estrategia experimental. La Figura 1 muestra el domino experimental combinado para los dos factores expresado en unidades codificadas y particularizado para las variables de la reacción. Cada punto es un posible experimento. ¿Qué experimentos son los óptimos para descubrir cómo influyen los dos factores en el rendimiento y si existe interacción entre ellos?.

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1

6 8 Tiempo (h)

La experimentación más económica (mínimo número de experimentos) es aquella en la que cada factor toma sólo dos valores (niveles). Y la que proporcionará la información con menor incertidumbre es aquella en la que estos valores son los extremos del dominio experimental, -1 y+1. La Tabla 2 muestra la matriz de experimentos que se obtiene combinando los dos niveles de los dos factores. Cada fila es un experimento y cada columna es un factor estudiado. Este diseño se denomina factorial completo 22 (el 2 de la base indica que cada factor toma sólo dos valores). La posición de estos 4 ( = 22 ) experimentos en el dominio experimental se muestra en la Figura 1.

Tabla 2. Diseño factorial completo 22, plan de experimentación y respuestas observadas.

Matriz de Plan de Respuesta

experimentos experimentación (% rendimiento)

xi x2 Tiempo (h) Temperatura (°C) Ejemplo 1 Ejemplo 2

1 - - 6 40 49 (y1) 49 (y1)

2 + - 8 40 54 (72) 80 (72)

3 - + 6 80 73 (73) 73 (y3)

4 + + 8 80 80 (74) 54 (y4)

4. Plan de experimentación y realización de los experimentos

A continuación, la matriz de experimentos se concreta para nuestro estudio sustituyendo los valores + y - de las variables codificadas por los valores de las variables reales. Así se obtiene el plan de experimentación (Tabla 2), que comprende, de forma estructurada y fácilmente comprensible, la lista de experimentos a realizar. Por ejemplo, el experimento 1 se realizará durante 6 horas a 40 °C.

Antes de llevar a cabo los experimentos hay que comprobar que todos parecen factibles. Si alguno corresponde a una combinación de factores que no es de interés económico o es imposible llevarlo a la práctica, se puede reemplazar por otro que complete el diseño con la mínima pérdida de calidad [3].

A continuación se realizan los experimentos. La columna Ejemplo 1 de la Tabla 2 muestra los rendimientos encontrados y la Figura 2 muestra su posición en el dominio experimental.

5. Interpretación de los resultados y conclusiones

Las cuatro respuestas se pueden combinar para obtener cuatro informaciones (tantas como experimentos):

Valor promedio

bo = ( + yi + y2 + ya + YA ) / 4 = 64 (1) Efecto principal del tiempo de reacción

bt = ( - yi + Y2 - ya + YA ) / 2 = 6 (2) Efecto principal de la temperatura

bj = ( - yi - y2 + ya + YA ) / 2 = 25 (3) Efecto de interacción entre tiempo de reacción y temperatura

btxj = ( + Yi - Y2 - Ya + YA ) / 2 = 1 (4)

• El valor promedio indica alrededor de qué valor están distribuidas las respuestas. Si ningún factor tuviera efecto, esta distribución sería debida a la incertidumbre experimental. b0 es también el valor predicho en el centro del dominio experimental (cuando x1 = 0 y x2 = 0) si el fenómeno se comporta linealmente.

• El efecto principal de cada factor indica la variación promedio de la respuesta cuando cambia ese factor. Se calcula como la respuesta media cuando el factor está en el nivel + menos la respuesta media cuando el factor está en el nivel - . Para el tiempo de reacción es bt = (y2+y4)/2 - (y1+y3)/2. ¿Y para la temperatura?.

El primer paso para interpretar los efectos

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