DIVISIBILIDAD

Introducción

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Desde hace mucho tiempo, el hombre se ha visto ante la necesidad de tener que repartir cantidades de cosas entre personas, dándole a cada una el mismo número de unidades.

A través de la práctica el hombre descubrió que este problema a veces sí tenía solución y a veces no. Este hecho hizo que se estudiase que relación se encontraba entre los números en los que este problema sí tenía solución y los números en los que no. De esta forma comenzó a estudiarse la divisibilidad.

Definición

Un número a se puede dividir por otro número b (o también, a es divisible por b), cuando con el número de unidades que indique el número a se puedan hacer tantos números como indique el número b, teniendo todos estos grupos el mismo número de unidades.

Ejemplo:

En el dibujo diríamos que 12 se puede dividir por 3.

Primer problema

Un coche necesita que le cambien el aceite cada 9.000 km, el filtro del aire cada 15.000 km y las bujías cada 30.000 km. ¿ A qué número mínimo de kilómetros habrá que hacerle todos los cambios a la vez?

Solución

El coche realizará los siguientes cambios:

De aceite: {9.000 Km., 18.000 Km., 27.000 Km, ...}

Del filtro: {15.000 Km., 30.000 Km., 45.000 Km., ...}

De bujías: {30.000 Km., 60.000 Km., 90.000 Km., ...}

Comonpodemos comprobar los cambios se efectúan en múltiplos de 9.000, 15.000 y 30.000, como estamos buscando cuando se realizarán los tres cambios a la vez, estamos buscando un múltiplo común. Dado que también nos piden que el número buscado sea lo más pequeño posible, estamos buscando el M.C.M.(9.000,15.000,30.000)=90.000

Luego se realizarán los tres cambios simultáneamente por primera vez a los 90.000 Km.

Segundo problema

Un comerciante desea poner en cajas 12.028 manzanas y 12.772 naranjas de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y además el mayor número posible de ellas. Hallar el número de naranjas y de manzanas de cada caja.

Solución

El comerciante puede poner las manzanas en cajas de 2 unidades, de 4 unidades, de 31 unidades, etc., en definitiva puede agruparlas en cajas que contengan cualquier divisor de 12.028.

Igualmente ocurre con la naranjas, cajas de 2 unidades, de 4 unidades, etc, todos los divisores de 12.772.

Puesto que el número de una caja de naranjas debe ser el mismo que el de una caja de manzanas, estamos buscando un divisor común, que además se nos pide que sea el mayor posible, este número es el M.C.D.(12.028,12.772)=124

Luego las cajas deben contener 124 unidades de naranjas o 124 unidades de nanzanas.

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