DIVISIBILIDAD

El concepto de divisibilidad surge ante la necesidad de repartir cantidades. En algunos casos este reparto es exacto y en otros no. Imaginemos que un padre deja en herencia sus 24 vacas a sus hijos. Dependiendo del número de hijos que tenga se podrá hacer un reparto equitativo o no sin que sobren o falten vacas, si tiene 3 hijos podrá dejar a cada uno 8 vacas, si tiene 4 podrá dejar a cada uno 6 vacas, pero si tiene 5 hijos no podrá dejar a cada uno de ellos igual número de vacas sin que sobre ninguna.

Concepto de divisibilidad

Se dice que un número a es divisible por otro b si existe un tercer número c tal quea= b•c y se nota b | a "b divide a a".

Así 24 es divisible por 3 ya que 24 = 3•8, también divisible por 4 pues 24 = 4•6. En cambio, no es divisible por 5 al no encontrarse ningún natural que al multiplicarse por 5 se obtenga 24.

Análogamente se puede decir que un número a es divisible por otro b si la división euclídea es exacta, es decir, si al realizar la división el resto es 0.

Consecuencias de la definición:

Si a, b y c son enteros

a. 1|a para cualquier a entero, es decir, 1 divide a cualquier número entero

b. Si a | b y b | a entonces a = ± b

c. Si a | b entonces a|bx para cualquier x entero.

d. Si a | b y a|c entonces a|(b+c)

e. Consecuencia de b es que a| (pa+qb) donde p,q son enteros

f. La palabra divisibilidad, en matemáticas, se refiere a la parte de la Aritmética que estudia las condiciones que han de tener los números para ser divisibles por otros, es decir, que se puedan dividir exactamente. Este concepto es muy antiguo y surgió cuando el hombre tuvo la necesidad de repartir cosas entre varios.

g. El reparto, unas veces, era igual para todos (se obtenía un número exacto de cosas para cada uno), y otras veces no era igual, dependiendo de que el número de cosas a repartir se pudiera dividir, exactamente, entre el número de los que iban a recibir esas cosas.

Para poder repartir de forma equitativa, es decir en partes iguales, necesitamos conocer el concepto de Divisor.

Llamamos Divisor de un número entero a cualquier otro número por el cual se puede dividir, exactamente, a ese número. Así pues, diremos que 4 es un divisor de 16 porque al dividir 16 entre 4 obtenemos de resto 0.

Para encontar los divisores de un número, realizamos todas las divisiones exactas que tengan a este número como dividendo. Es decir, buscamos todos los números que lo dividen exactamente.

h. 15 : 1 = 15, 15 : 3 = 5, 15 : 5 = 3, 15 : 15 = 1

Por tanto, los divisores de 15 son 1, 3, 5, 15

27 : 1 = 27, 27 : 3 = 9, 27 : 9 = 3, 27 : 27 = 1

Y los divisores de 27 son 1, 3, 9, 27

i.

j. Como podrás observar, todo número entero siempre tiene por divisores a

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