Divisibilidad

DIVISIBILIDAD

La palabra divisibilidad, en matemáticas, se refiere a la parte de la aritmética, que estudia a las condiciones que han de tener los números, para ser divisibles por otros, es decir, que se pueden dividir exactamente. Este concepto es muy antiguo y surgió cuando el hombre tuvo la necesidad de repartir cosas entre varios.

El reparto, unas veces, era igual que todos (se obtiene un numero exacto de cosas para cada uno) a repartir, se pudiera dividir exactamente, entre el numero de los que iban a recibir esas cosas.

Para poder repartir de forma equitativa, es decir en partes iguales, necesitamos conocer el concepto de divisor.

Llamamos divisor de un número entero a cualquier otro numero por el cual se pueda dividir, exactamente, a ese numero.

Así pues diremos que 4 es un divisor de 16 porque al dividir 16 entre 4 obtenemos de resto 0.

Para encontrar los divisores de un número, realizamos todas las divisiones exactas, que tengan a este número como dividendo.

Es decir, buscamos todos los números que lo dividen exactamente.

15: 1= 15:3=,15=5 5 3, 15=1

Por tanto los divisores de 15 son 1, 3,5,15.

27: 1= 27, 27: 3= 9, 27: 9=3, 27:27=1

Y los divisores de 27 son: 1,3,9 27.

Los números primos son infinitos.

Si un numero no es primo diremos que es compuesto. El caso de los números 0 y 1 es especial, puesto que no se consideran primos ni compuestos.

Otro concepto importante, relacionado con el divisor, es el de multiplicando de un numero, que es el numero que obtenemos al multiplicar a ese numero por otro entero, así diremos que 18 es múltiplo de 9, porque 9x2= 18

Para hallar los múltiplos de un número, vamos multiplicando a ese número por la sucesión de números enteros, como hay infinitos números enteros, los múltiplos de un número también son infinitos.

Múltiplos de 8 menores de 50

8x2= 16, 8x3=24, 4x4=32, 8x5=40, 8x6= 48

Múltiplos de 9 menores de 50.

9x2= 18, 9x3=27, 9x4=36, 9x5=45

La división entre múltiplo y divisor es parecida a la relación de padre e hijo. SI José es padre de Luis, Luis es hijo de José. Por tanto, se cumple la relación siguiente.

Si el numero de 21 es múltiplo de 7, el numero de 7 es un divisor de 21.

Múltiplos de un Número:

Un numero a es múltiplo de otro b es el resultado de multiplicar este ultimo por otro numero c.

Dado un numero natural obtenemos un múltiplo de el al multiplicarlo por otro numero natural.

Ejemplo:

18= 2 9 18 es múltiplo de 2, ya que resulta de multiplicar 2 por 9.

Tabla del 1 Tabla del 2 Tabla del 3 Tabla del 4 Tabla del 5

1x1 = 1 2x1 = 2 3x1 = 3 4x1 = 4 5x1 = 5

1x2 = 2 2x2 = 4 3x2 = 6 4x2 = 8 5x2 = 10

1x3 = 3 2x3 = 6 3x3 = 9 4x3 = 12 5x3 = 15

1x4 = 4 2x4 = 8 3x4 = 12 4x4 = 16 5x4 = 20

1x5 = 5 2x5 = 10 3x5 = 15 4x5 = 20 5x5 = 25

1x6 = 6 2x6 = 12 3x6 = 18 4x6 = 24 5x6 = 30

1x7 = 7 2x7 = 14 3x7 = 21 4x7 = 28 5x7 = 35

1x8 = 8 2x8 = 16 3x8 = 24 4x8 = 32 5x8 = 40

1x9 = 9 2x9 = 18 3x9 = 27 4x9 = 36 5x9 = 45

1x10 = 10 2x10 = 20 3x10 = 30 4x10 = 40 5x10 = 50

Tabla del 6 Tabla del 7 Tabla del 8 Tabla del 9 Tabla del 10

6x1 = 6 7x1 = 7 8x1 = 8 9x1 = 9 10x1 = 10

6x2 = 12 7x2 = 14 8x2 = 16 9x2 = 18 10x2 = 20

6x3 = 18 7x3 = 21 8x3 = 24 9x3 = 27 10x3 = 30

6x4 = 24 7x4 = 28 8x4 = 32 9x4 = 36 10x4 = 40

6x5 = 5 7x5 = 35 8x5 = 40 9x5 = 45 10x5 = 50

6x6 = 36 7x6 = 42 8x6 = 48 9x6 = 54 10x6 = 60

6x7 = 42 7x7 = 49 8x7 = 56 9x7 = 63 10x7 = 70

6x8 = 48 7x8 = 56 8x8 = 64 9x8 = 72 10x8 = 80

6x9 = 54 7x9 = 63 8x9 = 72 9x9 = 81 10x9 = 90

6x10 = 60 7x10 = 70 8x10 = 80 9x10 = 90 10x10 = 100

Propiedades de los múltiplos de un número

Todo numero a, distinto es múltiplo de si mismo de la unidad.

El cero es el múltiplo de todos los números.

Todo número distinto de cero, tiene infinitos múltiplos.

Si a es múltiplo de b al dividir a entre b la división es exacta.

L a suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.

La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.

Si un número es múltiplo de otro y este lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero.

Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del segundo.

Obtención de múltiplos

Como vimos para que un número sea múltiplo de otro, tiene que contener todos sus factores primos, de ambos números.

Veamos el ejemplo:

Descomponemos en factores primos 32 y 12.

32= 2. 2. 2. 2. 2. 2. =25

12=2. 2. 3=22 .

El mcm, de 12 y 32 tiene que contener todos los factores primos de ambos el menos numero de veces posible (25, 22 y 3, pero 22 ya esta contenido en 25)

Observa que para tener el m.c.m. se multiplican los factores primos comunes y no comunes que aparecen en las dos descomposiciones elevados al mayor exponente.

m.c.m. (12, 32) = 25 . 3=96

Para obtener el mínimo común múltiplo de dos o más numero, se procede de la siguiente manera:

Se descomponen los números en factores primos.

Se multiplican todos los factores que aparecen en las descomposiciones, elevando cada uno al mayor exponente con el que figuran en ellas.

DIVISORES DE UN NÚMERO

Los divisores de un numero natural son los números naturales que lo pueden dividir, resultando de cociente otro numero natural y de resto 0.

Ser divisor es lo reciproco a ser múltiplo. Si 9 es múltiplo de 3, entonces 3 es divisor de 9.

Los divisores de un número natural le pueden dividir, su división es exacta.

Cada número tiene una cantidad concreta de divisores. El numero 1 tiene solo un divisor, el mismo.

Solamente el 0 tiene infinito número de divisores, ya que todos los números son divisores de 0.

NUMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

Al comprobar cuantos divisores tienen los números observamos que:

El 1 es el único número que solamente tiene un divisor, por eso es un número especial.

El 0 tiene infinito numero de divisores, ya que todos los números son divisores de 0, también es un numero especial.

Los números primos son los que tienen dos divisores, que son el 1 y el mismo numero primo.

Los compuestos son los que tienen más de dos divisores, son los más frecuentes.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Podemos saber fácilmente si un número es divisible por otro sin necesidad

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