Divisibilidad

Algunas propiedades de los enteros

abril-septiembre 2021

Divisibilidad

Definición 1

Sean a,b números enteros. Se dice que a divide a b o que a es un divisor

de b si existe un entero c tal que b = ac. Si a divide a b, escribimos a | b.

Propiedades 1

1. para todo entero a, se cumple que a | 0,

2. si a | b y a | c, entonces a | (bx + cy), para todo entero x y para

todo entero y,

3. si a | b y b | a, entonces a = ±b,

4. si a | b, entonces |a| ≤ |b|.

Notación 1

Si a no divide a b, escribimos a - b.

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Teorema 1 (Algoritmo de la división)

Sean a,b enteros con b > 0. Existen enteros r y q tales que a = bq + r con

0 ≤ r < b. Además, r y q son únicos.

Nota.

El teorema 1 se puede extender a b 6= 0. En efecto, si b < 0, entonces

−b > 0, luego existen q y r tales que a = −bq + r = b(−q) + r con

0 ≤ r < (−b).

Definición 2 (Número primo)

Un entero p ≥ 2 se llama primo cuando sus únicos divisores positivos

son p y 1.

Divisibilidad

Se P el conjunto de los números primos. La función contador de núme-

ros primos, denotada por π, es una función que cuenta la cantidad de

números primos menores o iguales a cierto número real. Es decir, si x

es un número real, entonces la función π está definida por

π(x) = card{p ∈ P : p ≤ x}.

Algunos valores de la función π se hallan en la siguiente tabla:

x

1

2

3

4

5

...

10

π(x)

0

1

2

2

3

...

4

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Nota.

No se conoce el valor de π(x) para todo valor de x; sin embargo, el

teorema de los números primos es un enunciado que describe la dis-

tribuciónasintóticadelosnúmerosprimos.Enefecto,ésteaseguraque

π(x) ∼

x

lnx,

para valores muy grandes de x.

Definición 3 (Máximo común divisor)

Dados los enteros a y b, se dice que d ∈ Z>0es un máximo común

divisor de a y b cuando

1. d | a y d | b,

2. si otro entero d0satisface que d0| a y d0| b, entonces d0| d.

Divisibilidad

El máximo común divisor de a y b se denota con mcd(a,b).

Proposición 1

El máximo común divisor de a y b, si existe, es único.

Demostración.

Si se supone que mcd(a,b) = d y mcd(a,b) = d1, entonces, a partir de

la definición 3, se tiene que d | d1y d1| d, luego d ≤ d1y d1≤ d. Así,

d = d1.

Teorema 2 (Identidad de Bézout)

Dados dos enteros a y b, con al menos uno diferente de cero, existe el máximo

común divisor de a y b. Además existen enteros x, y tales que

mcd(a,b) = ax+ by.

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Definición 4

Sea a ∈ Z, y sea b ∈ Z. Se dice que a y b son coprimos si mcd(a,b) = 1.

Corolario 1

a y b son copimos si y sólo si existen enteros x, y tales que ax+ by = 1.

Demostración.

Por un lado, si a y b son coprimos, entonces mcd(a,b) = 1. Por el

teorema 2, existen enteros x, y tales que ax + by = 1. Por otro lado,

si se supone que a y b no son coprimos, entonces mcd(a,b) 6= 1. Sea

mcd(a,b) = d, se tiene que d | a y d | b, luego d divide a toda combina-

ción lineal de a y b; en particular d | 1, contradicción.

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Corolario 2

Si mcd(a,c) = 1, y si c | (ab), entonces c | b.

Corolario 3

Si p es primo, y si p - a, entonces mcd(a,p) = 1.

Corolario 4 (Lema de Euclides)

Si p es primo, y si p | (ab), entonces p | a, o p | b.

Demostración.

Si se supone que p - a, entonces mcd(a,p) = 1. Luego, por el corolario

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