Divisibilidad
Enviado por Marco Parra • 27 de Mayo de 2021 • Ensayo • 619 Palabras (3 Páginas) • 63 Visitas
Algunas propiedades de los enteros
abril-septiembre 2021
Divisibilidad
Definición 1
Sean a,b números enteros. Se dice que a divide a b o que a es un divisor
de b si existe un entero c tal que b = ac. Si a divide a b, escribimos a | b.
Propiedades 1
1. para todo entero a, se cumple que a | 0,
2. si a | b y a | c, entonces a | (bx + cy), para todo entero x y para
todo entero y,
3. si a | b y b | a, entonces a = ±b,
4. si a | b, entonces |a| ≤ |b|.
Notación 1
Si a no divide a b, escribimos a - b.
Divisibilidad
Teorema 1 (Algoritmo de la división)
Sean a,b enteros con b > 0. Existen enteros r y q tales que a = bq + r con
0 ≤ r < b. Además, r y q son únicos.
Nota.
El teorema 1 se puede extender a b 6= 0. En efecto, si b < 0, entonces
−b > 0, luego existen q y r tales que a = −bq + r = b(−q) + r con
0 ≤ r < (−b).
Definición 2 (Número primo)
Un entero p ≥ 2 se llama primo cuando sus únicos divisores positivos
son p y 1.
Divisibilidad
Se P el conjunto de los números primos. La función contador de núme-
ros primos, denotada por π, es una función que cuenta la cantidad de
números primos menores o iguales a cierto número real. Es decir, si x
es un número real, entonces la función π está definida por
π(x) = card{p ∈ P : p ≤ x}.
Algunos valores de la función π se hallan en la siguiente tabla:
x
1
2
3
4
5
...
10
π(x)
0
1
2
2
3
...
4
Divisibilidad
Nota.
No se conoce el valor de π(x) para todo valor de x; sin embargo, el
teorema de los números primos es un enunciado que describe la dis-
tribuciónasintóticadelosnúmerosprimos.Enefecto,ésteaseguraque
π(x) ∼
x
lnx,
para valores muy grandes de x.
Definición 3 (Máximo común divisor)
Dados los enteros a y b, se dice que d ∈ Z>0es un máximo común
divisor de a y b cuando
1. d | a y d | b,
2. si otro entero d0satisface que d0| a y d0| b, entonces d0| d.
Divisibilidad
El máximo común divisor de a y b se denota con mcd(a,b).
Proposición 1
El máximo común divisor de a y b, si existe, es único.
Demostración.
Si se supone que mcd(a,b) = d y mcd(a,b) = d1, entonces, a partir de
la definición 3, se tiene que d | d1y d1| d, luego d ≤ d1y d1≤ d. Así,
d = d1.
Teorema 2 (Identidad de Bézout)
Dados dos enteros a y b, con al menos uno diferente de cero, existe el máximo
común divisor de a y b. Además existen enteros x, y tales que
mcd(a,b) = ax+ by.
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