Dinámica del sólido rígido (S.R.)

Dinámica del sólido rígido (S.R.)

Un sólido rígido se considera a un conjunto de partículas materiales: m1,

...mi ....mn cuyas distancias mutuas permanecen invariables, en las

condiciones habituales de trabajo del cuerpo. Así por ejemplo, la distancia

entre dos partículas cualesquiera como mi y mj ; que designamos por dij ; se mantiene siempre constante, fig.1.

En otras ocasiones se toma al sólido como un continuo, pero sin interesarnos por su estructura interna. Entonces, se considera formado por elementos de masa dm, sin necesidad de asignarles numeración.

En el movimiento del sólido rígido estudiaremos únicamente la traslación, la rotación alrededor de un eje fijo y una combinación de rotación y traslación.

Movimiento de traslación

Un sólido rígido efectúa una traslación, cuando un triedro unido al cuerpo no cambia su orientación en el transcurso del movimiento, con relación a unos ejes fijos con origen en un punto O, fig.2 y fig.3.

La traslación es rectilínea, si las trayectorias seguidas por los partículas del S. R. en su movimiento, son líneas rectas. Así sucede con las trayectorias de los puntos A y B de la fig.4, que se representan en el dibujo mediante líneas discontinuas.

m1

mi

mn

Fig.1. Para estudiar el sólido rígido podemos considerarlo constituido por muchos partículas materiales, que pueden numerarse.

A

O A

B A

B

B

Fig.2. Traslación rectilínea

La traslación es curvilínea, cuando las trayectorias de las partículas del S.R. son líneas curvas. Observa en la fig.4, las trayectorias de A y B, y entiende que es una traslación, porque el triedro sigue paralelo así mismo, y a la posición inicial. Un ejemplo muy conocido se muestra en la fig.3.

O

Fig.3. Los ejes ligados a las cestas de la noria, tienen un movimiento de traslación respecto de los ejes fijos en O, situados en el suelo. Todos los puntos de las cestas al moverse, sufren una traslación curvilínea. Observa la trayectoria de un punto de la cesta, señalada con línea discontinua.

O A A B A B

B

Fig.4. Traslación curvilínea

Cuando un sólido rígido efectúa una traslación sea rectilínea o curvilínea, en cada instante los vectores velocidad y aceleración, son los mismos para todas las partículas del sólido.

En los sólidos regulares, el centro de masas coincide con el centro de simetría del cuerpo.

Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo

Consideremos un sólido rígido y unos ejes fijos en él (X´, Y´, Z´). El sólido efectúa una rotación cuando este sistema de ejes, gira con velocidad

angular ωr , alrededor de otros ejes fijos (X, Y, Z),. El eje alrededor del cual

gira el sólido se llama eje de rotación, siendo Z = Z´. Cualquier partícula

como la mi fig.5, describe una circunferencia con centro en el punto Oi del eje, pues por definición de sólido rígido la distancia a Oi es constante.

La velocidad angular determina la “rapidez” con que sólido rígido da vueltas, si miras los puntos A y B, que están sobre el mismo radio, deberán dar igual número de vueltas en el mismo tiempo, por permanecer siempre constante

su distancia, por lo tanto la velocidad angular ωr será la misma para todos

los puntos. Para un sólido rígido en rotación alrededor de un eje, en cada

instante, la velocidad angular es igual para todas las partículas del sólido.

La velocidad r que lleva cada partícula mi a lo largo de la circunferencia de radio ri que describe, se llama velocidad lineal y es distinta para cada partícula del sólido. El módulo de la velocidad lineal de una partícula, es igual a la velocidad angular por el radio de la circunferencia que describe

E. de rotación Z=Z´ ωr

Oi ri

r

vi

mi

Y´

B A

Y

θ X´

v i = ω • ri

En la fig.6, se representan las velocidades lineales de dos

partículas C y D, observa que es mayor cuanto más alejada está del eje.

Si la velocidad angular cambia con el tiempo, sobre el sólido actúa una aceleración angular αr , que es un vector en la dirección del eje de rotación,

fig.6. Se obtiene derivando la velocidad angular respecto del tiempo.

dωr

α =

dt

La aceleración angular es en cada instante, la misma para todos los puntos del sólido rígido. La aceleración angular está relacionada con la aceleración

tangencial resultando que su módulo, es igual a la aceleración angular α por

Fig.5. Cuando el sólido gira a derechas, observa como los ejes ligados al sólido (x´, Y´, Z´) giran alredor de los ejes fijos (X, Y, Z). Entonces el vector velocidad

angular ωr se determina mediante el

avance de un sacacorchos que gire en

el mismo sentido del sólido, encontrándose además sobre el eje de

rotación Z = Z´.

αr

ωr

el radio ri de la circunferencia que describe la partícula;

at ,i = α • ri

Ejemplo 1

El cilindro de la fig.6, gira alrededor del eje de rotación, que además es su eje de simetría, con una velocidad angular constante de 10 r.p.m. Dos segundos más tarde se mide su velocidad angular y se encuentra que es de 20 r.p.m. Determina: a) La aceleración angular considerando que ha variado uniformemente. b) La velocidad lineal a los 2 s, de dos puntos A y B del sólido que están situados a 0,1 m y a 0,2 m, del eje de rotación. c) La aceleración tangencial de los puntos A y B, ese instante.

r

...