Distribución Nominal.

Distribución binomial

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:

Las siguientes situaciones son ejemplos de experimentos que pueden modelizarse por esta distribución:

Se lanza un dado diez veces y se cuenta el número X de treses obtenidos: entonces X ~ B(10, 1/6)

Se lanza una moneda dos veces y se cuenta el número X de caras obtenidas: entonces X ~ B(2, 1/2)

Una partícula se mueve unidimensionalmente con probabilidad q de moverse de aqui para allá y 1-q de moverse de allá para acá.

Experimento binomialExisten muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan como p y q o p y 1-p).

Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en los n experimentos.

Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una distribución de probabilidad binomial, y se denota B(n,p)

Relaciones con otras variables aleatorias. Si n tiende a infinito y p es tal que producto entre ambos parámetros tiende a , entonces la distribución de la variable aleatoria binomial tiende a una distribución de Poisson de parámetro λ.

Por último, se cumple que cuando n es muy grande (usualmente se exige que ) la distribución binomial puede aproximarse mediante la distribución normal.

.FUNCIONES DE PROBABILIDAD:

Llamamos función de probabilidad f a la aplicación de E(X) (Espacio Muestral) en el intervalo [0,1] que verifica:

f(A) = p(A)

Básicamente se trata de estudiar la probabilidad como una función utilizando para su estudio todas las propiedades de las funciones.

LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL:

Llamamos experiencia aleatoria dicotómica a aquella que sólo puede tener dos posibles resultados A y A'. Usualmente A recibe el nombre de éxito, además representaremos como p = p(A) y q = 1-p=p(A').

A la función de probabilidad de una variable aleatoria X resultado de contar el número de éxitos al repetir n veces una experiencia aleatoria dicotómica con probabilidad de éxito p la llamamos distribución binomial y la representamos por

B (n, p)

Para esta distribución se verifica que, la variable X puede tomar los valores:

0, 1, 2, ... , n

y que la variable toma cada uno de estos valores con probabilidad:

PARÁMETROS DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL:

• Esperanza:

n • p

• Desviación típica:

...