ECUACIONES DIFERNCIALES

NDICE

Introducción…………………………………………………………………………….3

Clasificación……………………………...…...…………………………………….….4

Tipo………………………..…….………………………………………………………4

Orden……………………………………………………………………………………5

Linealidad……………………………………………………….………………………6

Ecuaciones diferenciales de variables separables………….……………………..7

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden……..………………………..10

Primer método………………………………………………………………………..11

Ejemplos…………………………………………………………..……….………….14

Aplicaciones……………………………………..………………...17

Conclusiones……………………………………….…………………………………28

Bibliografía……………………………………………………………….……………29

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS.

Introducción

Una ecuación diferencial es una ecuación cuya incógnita es una función y en la que aparecen algunas derivadas de esa función. Si la función que interviene tiene sólo una variable independiente, la ecuación se llama ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.). Si la función tiene varias variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial en derivadas parciales (E.D.P.).

Además del tipo (ordinaria o parcial), las ecuaciones diferenciales se clasifican según su orden. El orden de una ecuación diferencial viene determinado por la derivada de orden más alto que aparece en dicha ecuación. En su forma más general una ecuación diferencial de orden n se puede escribir como:

F(x, y, y´, . . . yn) = 0

Veamos algunos ejemplos:

Ecuación Tipo Orden

y´´´+ 4y = 2 Ordinaria 3

d2s

dt2 = −32 Ordinaria 2

(y´)2 − 3y = ex Ordinaria 1

∂2u + ∂2u

∂y2 ∂x2 Parcial 2

y− sen y´ = 0 Ordinaria 1

Una función y = f(x) se dice que es una solución de una ecuación diferencial si la ecuación se satisface al sustituir, en ella, y y sus derivadas por f(x) y sus derivadas respectivas.

Grado

El grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de su derivada de mayor orden, es decir, el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la deriva que nos dio el orden de la ecuación diferencial.

Ejemplo:

La siguiente ecuación diferencial:

Es de tercer grado, dado que la primera derivada, que nos da el orden de la EDO, está elevada cubo.

Clasificación

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en función de:

Tipo:

Si una ecuación diferencial contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria.

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias:

Ejemplos:

Si una ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se dice que es una ecuación diferencial parcial.

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales:

Ejemplos:

Orden:

El orden de una ecuación diferencial (ya sea ordinaria o parcial) es el orden de la derivada mayor en la ecuación.

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales por orden:

Ejemplos:

E.D de Primer orden

E.D de segundo orden

y´´´ − 3y´´ + 2y = 0 E.D de tercer orden

Linealidad:

Se dice que una ecuación diferencial de la forma y =f(x, y, y’, . . ., y ) es lineal cuando es una función lineal de y, y’,…,

Esto significa que una ecuación es lineal si se puede escribir en la forma:

Condiciones de linealidad:

Las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales:

La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia de todo término donde aparece y es 1.

Cada coeficiente sólo depende de X, que es la variable independiente.

Ejemplos:

Ecuación diferencial lineal de primer orden

x y´´´ +(2x+1) y´´ + x y´ + sen x y = 0 Ecuación diferencial lineal de tercer orden

El coeficiente de y´ depende de y (no es lineal)

Función no lineal

Potencia de y diferente de 1 (no es lineal)

ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES

Diremos que una ecuación diferencial de primer orden es de variables separables si puede escribirse en la forma.

Siendo f (x) y g(y) funciones de una sola variable.

Las ecuaciones de variables separables se resuelven agrupando en un miembro de la ecuación los términos que dependen de x, y en el otro aquellos que dependen de y; a continuación, se integran ambos miembros para obtener la solución general de la ecuación. De este modo, podemos escribir formalmente:

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