SISTEMA DE ECUACIONES

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

DEFINICION: Una ecuación es una igualdad en la que aparecen números y letras (variables) llamadas incógnitas, cuyo valor hay que averiguar. Para resolver un sistema de ecuaciones con más de dos incógnitas, se necesitan más de dos ecuaciones, al conjunto de ecuaciones se le llama sistema de ecuaciones.

Ejemplo:

2x + 3y = 7

5x – 2y = 8

Como tiene dos incógnitas necesitamos dos ecuaciones

Métodos para resolver sistemas

Se explicaran los métodos de Reducción, sustitución e igualación

Reducción: Consiste en eliminar una de las incógnitas. Pasos:

1. Elegimos la incógnita que queremos eliminar y para que tenga en las dos ecuaciones el mismo coeficiente (número) multiplicamos la ecuación de arriba por el coeficiente que tenga la incógnita en la ecuación de abajo y toda la ecuación de abajo por el coeficiente que tenga la incógnita en la ecuación de arriba.

2. Sumamos o restamos las dos ecuaciones para eliminar la incógnita elegida.

3. Resolvemos la ecuación resultante del paso anterior.

4. Calculamos la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones del sistema.

Ejemplo:

2x + 3y = 7

5x – 2y = 8

Vamos a eliminar las x y multiplicamos la ecuación de arriba por 5 y la ecuación de abajo por 2

10x + 15y = 35

10x - 4y = 16

Como las x tienen el mismo coeficiente y el mismo signo para eliminarlas basta con restar a la ecuación de arriba la de abajo o al contrario.

10x + 15y = 35

-10x + 4y =-16

19y = 19

Despejamos la incógnita

y = 11919

Cogemos una de las ecuaciones del principio y sustituimos en ella el valor obtenido y así conseguiremos el valor de la otra incógnita.

2x + 3.1 = 7

2x + 3 = 7

2x = 7 – 3

2x = 4

x = 224

x =2

R,

y =1

2

Nota importante : si la primera incógnita te da fracción puedes resolver la segunda incógnita otra vez por reducción siguiendo todo el proceso, pero eliminando la incógnita contraria a la vez anterior.

Ejercicios:

1. 5x – 2y = 4

6x – 3y = 3 R; x = 2, y = 3

2. 3x + 4y =15

6x + 5y = 21 R; x = 1, y = 3

3. 7x – 3y = 29

8x + 4y = 48 R; x = 5, y = 2

4. 5x – 3y = 7

7x + 2y = 16 R; x = 2 y = 1

5. 8x + 2y = 10

9x – 3y = 6 R; x = 1 y = 1

Sustitución:

Pasos:

1. Se despeja una incógnita en una ecuación.

2. Se sustituye en la otra y se resuelve la ecuación.

3. Se sustituye el valor obtenido en la expresión obtenida en el primer paso.

Ejemplo: 3x – 2y = 12

x + 5y = 38

Primero: Despejamos la x en la primera ecuación

x =3212y

Segundo : Sustituimos este valor en la segunda ecuación

3

12  2y

+ 5y = 38 Resolvemos la ecuación

12 + 2y + 15y = 114

17y = 114 – 12

17y = 102

y =617102

Tercero: Sustituimos la y de la expresión del primer paso por 6 y averiguamos el valor de la x.

x = 83243121236·212 R; x = 8, y = 6

3

Ejercicios. Resuelve por sustitución

6. 5x – 2y = 4

6x – 3y = 3 R; x = 2, y = 3

7. 3x + 4y =15

6x + 5y = 21 R; x = 1, y = 3

8. 7x – 3y = 29

8x + 4y = 48 R; x = 5, y = 2

9. 5x – 3y = 7

7x + 2y = 16 R; x = 2 y = 1

10. 8x + 2y = 10

9x – 3y = 6 R; x = 1 y = 1

Igualación:

Pasos:

1. Se despeja la misma incógnita en las ecuaciones.

2. Como los primeros miembros son iguales se igualan los sendos miembros y se resuelve la ecuación que resulta.

3. Se sustituye el valor obtenido en una de las expresiones del paso primero.

Ejemplo:

4x + 2y = 2

3x + 5y = -9

1. Despejamos la x o la y

y = 242x

y =539x

2. Igualamos los segundos miembros y resolvemos la ecuación:

539242xx

5 (2 – 4x) = 2 (- 9 - 3x )

10 – 20x = - 18 – 6x

-20x + 6x = - 18 –10

-14x = - 28

x = 21428

3. Cogemos una de las expresiones del primer paso.

32628222·42242xy R; x = 2, y = -3

4

Ejercicios . Resuelve por igualación:

1. 5x – 2y = 4

6x – 3y = 3 R; x = 2, y = 3

2. 3x + 4y =15

6x + 5y = 21 R; x = 1, y = 3

3. 7x – 3y = 29

8x + 4y = 48 R; x = 5, y = 2

4. 5x – 3y = 7

7x + 2y = 16 R; x = 2 y = 1

5. 8x + 2y = 10

9x – 3y = 6 R; x = 1 y = 1

Método de Cramer:

Primero Veamos como calcular el determinante de un matriz de dos fila y dos columnas con entradas reales.

Tenemos el arreglo 



dcbaM, donde todas las entradas, a,b,c,d son reales no todos cero. Se define el determinante de la matriz M de 2 x 2, denotado por det(M)= dcba , es un número que se calcula de la siguiente forma.

det(M)=(a*d)-(b*c)= dcba

Para un sistema de ecuaciones de dos incógnitas con dos ecuaciones, de la forma ndycxmbyax, su solución se halla utilizando el método de Cramer, hallando tres determinantes así:

dcbaD ; dmbnDx ; ,mcnaDy, donde la solución en caso de existir es, DDxx, DDyy

Observaciones

1. D es el determinante de la matriz que se forma con los coeficientes de las variables del sistema.

2. xDes el determinante

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