En las matemáticas, un sistema de ecuaciones

En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático que consiste enencontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.

En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

Existen diferentes métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales dentro de los cuales se destacan: Método de reducción, método de sustitución y método de igualación. A continuación se explica el procedimiento a seguir para desarrollar cada método.

La forma genérica de un sistema de ecuaciones algebraicas y incógnitas es la siguiente:

(1)

Donde son funciones de las incógnitas. La solución, perteneciente al espacio euclídeo , será tal que el resultado de evaluar cualquier expresión con los valores de dicha solución, verifique la ecuación.

METODO DE REDUCCIÓN

Procedimiento a seguir:

1.- Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convengan con su respectivo signo, ya sea positivo o negativo.

2.- Sumamos algebraicamente y desaparece una de las incógnitas.

3.- Se resuelve la ecuación resultante, despejando la incógnita existente.

4.- El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iníciales y se resuelve a fin de determinar la incógnita faltante.

5.- Los valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

A continuación se resuelve un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas para desglosar la aplicación de cada uno de los pasos descritos:

1.- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método de REDUCCIÓN.

3x – 4y = -6

2x + 4y = 1

Solución:

Lo más sencillo es suprimir la variable y, ya que en la primera ecuación existe la misma cantidad que en la segunda ecuación y con signos contrarios para efectuar directamente el paso 2 el cual corresponde a la suma algebraica, y de este modo se obviaría el paso 1 que sería la preparación de las ecuaciones. Pero en este caso optaremos por suprimir la x para efectuar todo el procedimiento a seguir.

Paso Nº 01: Preparamos las dos ecuaciones, por lo general lo más idóneo es multiplicar la ecuación 1 por el coeficiente numérico que acompaña a la variable de la ecuación 2, y multiplicar la ecuación 2 por el coeficiente numérico que acompaña a la variable de la ecuación 1 con el signo necesario para lograr la anulación de la variable que se quiere. Para el caso de este ejercicio en particular podemos multiplicar la ecuación 1 por 2 que es el coeficiente que acompaña a la x en la ecuación 2, y multiplicamos la ecuación 2 por 3 que es el coeficiente que acompaña a la x en la ecuación 1, y como en las dos ecuaciones la variable tiene el mismo signo (positivo) multiplicamos una de las dos ecuaciones por signo negativo (-) a fin de lograr la anulación de la variable.

Paso Nº 02: Efectuamos la suma algebraica de ambas ecuaciones.

Paso Nº 03: Se resuelve la ecuación resultante y se despeja la incógnita.

Paso Nº 04: El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales.

3x – 4y = –6, sustituyendo y = 3 nos queda;

3x – 4(3) = –6 → 3x = –6 + 12 → x = 2.

Nota: Los valores obtenidos se sustituyen en las ecuaciones iniciales dadas en el ejercicio, más no en las alteradas para desarrollar el método de reducción.

Paso Nº 05: Los valores que constituyen la solución del sistema son: x=2 y=3.

Una manera de comprobar que los valores obtenidos como solución al aplicar el método es sustituyendo los mismos en la ecuación

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