Entorno En R

ENTORNO EN R

Se llama entorno de centro a y radio r, y se denota por Er(a) o E(a,r), al intervalo abierto (a-r, a+r).

Er(a) = (a-r, a+r)

Los entornos se expresan con ayuda del valor absoluto.

Er (0) = (-r, r) se expresa también |x|<r, o bien, -r < x < r.

Er(a) = (a-r, a+r) se expresa también |x-a|<r, o bien, a a-r < x < a+r.

Entornos laterales

Por la izquierda

Er(a-) = (a-r, a]

Por la derecha

Er(a+) = [a, a+r)

Entorno reducido

Se emplea cuando se quiere saber qué pasa en las proximidades del punto, sin que interese lo que ocurre en dicho punto.

E r*(a) = { x (a-r, a+r), x ≠ a}

LIMITES DE UNA FUNCION

Se utiliza en el cálculo diferencial matemático y refiere a la cercanía entre un valor y un punto. Por ejemplo: si una función f tiene un límite X en un punto t, quiere decir que el valor de f puede ser todo lo cercano a X que se desee, con puntos suficientemente cercanos a t, pero distintos.

Los límites de las funciones ya se analizaban en el siglo XVII, aunque la notación moderna surgió en el siglo XVIII a partir del trabajo de diversos especialistas. Se dice que Karl Weierstrass fue el primer matemático en proponer una técnica precisa, entre 1850 y 1860.

En definitiva, una función f con límite X en t quiere decir que dicha función tiende hacia su límite X cerca de t, con f(x) tan cerca de X como sea posible pero haciendo que x sea distinto de t. De todas maneras, la idea de cercanía es poco precisa, por lo que una definición formal requiere de más elementos.

PROPIEDADES DE LÍMITES DE UNA FUNCION

El límite de una función en un punto es único.

Sean f y g dos funciones.

Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el límite de la función f + g, en el punto x = a, es l + m.

Lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

Sean f y g dos funciones.

Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el límite de la función f * g, en el punto x = a, es l * m.

Lim (f(x).g(x)) = lim f(x). lim g(x)

Sean f y g dos funciones.

Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m (distinto de cero), entonces el límite de la función f / g, en el punto x = a, es l / m.

Lim (f(x)/g(x)) = lim f(x) / lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el límite de la función f g , en el punto x = a, es l m.

Lim (f(x))g(x) = lim (f(x))lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el límite de la función f(g(x)) (suponiendo que tenga sentido) en el punto x = a, es l.

LIMITES LATERALES:

El límite de la función f(x) en el punto a, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor a. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a a.

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L, cuando x tiende a a, si fijado un número real positivo ε, mayor que cero, existe un número positivo δ dependiente de ε, tal que, para todos los valores de x distintos de a que cumplen la condición |x - a| < δ, se cumple que

|f(x) - L| <ε.

Existen funciones en las que a veces no es posible calcular directamente el límite en algún punto. Esto es debido a que estas funciones están definidas de diferente forma a la izquierda y a la derecha de ese punto. Para estudiar estos límites, se necesita recurrir a los límites laterales.

La condición necesaria y suficiente para que una función f(x) tenga límite en un punto de abscisa a es que tenga un límite lateral por la izquierda, tenga límite lateral por la derecha y ambos sean iguales. Si una función es convergente o tiene límite en un punto, éste debe ser único. Además, toda función que tiene límite en un punto está acotada en un entorno de ese punto.

Para calcular el límite de una función en un punto, no interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.

LÍMITE POR LA DERECHA: Él límite de una función f(x) cuando x tiende hacia el punto a por la izquierda es L, si y sólo si:

Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que:

Si x (a+δ, a), entonces |f (x) - L| <ε.

LÍMITE POR IZQUIERDA: El límite de una función f(x) cuando x tiende hacia el punto a por la izquierda es L, si y sólo si:

Para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que:

Si x (a, a+δ), entonces |f (x) - L| <ε.

PROPIEDADES DE LÍMITES LATERALES

Se define el límite lateral por la derecha de a de la función f(x), y se expresa como:

l´ım f(x)

X→a+

Al límite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a (a) y toma valores mayores que a. De igual modo, el límite lateral por la izquierda de a de la función f(x) se expresa como:

l´ım f(x)

x→a−

Y se define como el límite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores menores que a.

Propiedad: Para que una función f(x) tenga límite en x = a es necesario y suficiente que existan ambos límites laterales y coincidan, es decir:

L´ım f(x) = I ´ım f(x) =I ´ım f(x)

X→a x→a+ x→a−

LIMITES INDETERMINADO

Se llaman límites indeterminados a los que presentan alguna de estas formas:

Contra lo que se pudiera pensar, un límite de la forma ¥ - ¥ no da, en general, como resultado cero, tampoco un límite de la forma 1¥ da siempre como resultado uno. Por esta razón se les llama límites indeterminados y se requiere hacer un estudio particular para cada caso.

Obsérvese que ya se han estudiado varios casos de indeterminaciones de la

-¥ a +¥ pasando por todos los valores intermedios.

EJEMPLO

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