Estadistica Ejercicio

Tarea Examen 2 tipo A

Fuentes Tapia Ivan Baruch        Ibáñez Cortés Rebeca Michelle Ramos Soto Jonathan

Ejercicio 1

Considere el modelo de regresión:

𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1 + ... + 𝛽𝑝𝑥𝑝 + 𝜖

Y los estimadores obtenidos por mínimos cuadrados escritos en forma matricial

        𝛽 = (𝑋̂        𝑡𝑋)−1𝑦

Usando la matriz proyección H y sus propiedades, indique a qué es igual:

• 𝑒𝑡𝑋, donde 𝑒 = 𝑦 − 𝑦̂ y 𝑦̂ = 𝑋𝛽
• 𝐶𝑜𝑣(𝑒,𝑦)̂

Solución: Con la definición de H del primer inciso sabemos que:

𝑒𝑡𝑋 = (𝑦 − 𝐻𝑦)𝑡𝑋

Como H es simétrica, entonces

= (𝑦𝑡 − 𝑦𝑡𝐻)𝑋 Por lo tanto:

𝑒𝑡𝑋 = 𝑦𝑡(𝐼 − 𝐻)𝑋

Por otro lado, usando la definición de H sabemos que:

𝐶𝑜𝑣(𝑦 − 𝐻𝑦,𝐻𝑦) = 𝐶𝑜𝑣((𝐼 − 𝐻)𝑦,𝐻𝑦)

Por propiedad 2.1 de la covarianza de y :

𝐶𝑜𝑣((𝐼 − 𝐻)𝑦,𝐻𝑦) = (𝐼 − 𝐻)𝐶𝑜𝑣(𝑦)𝐻𝑡

Como H es simétrica:

(𝐼 − 𝐻)𝐶𝑜𝑣(𝑦)𝐻𝑡 = (𝐼 − 𝐻)𝐶𝑜𝑣(𝑦)𝐻

Por lo que:

𝐶𝑜𝑣(𝑦 − 𝐻𝑦,𝐻𝑦) = (𝐼 − 𝐻)𝐶𝑜𝑣(𝑦)𝐻

Ejercicio 2

Considere el modelo de regresión siguiente:

        𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1 + 𝛽2(3|𝑥𝑖| − 2) + 𝜖𝑖        𝑖 = 1,2,3

donde 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 1, 𝑥3 = −1

• I. Defina la matriz diseño X asociada a este modelos, Calcule 𝑋𝑡𝑋 y su inversa.

Solución:

𝑦1 = 𝛽0 − 2𝛽2 + 𝜖1

𝑦2 = 𝛽0 + 𝛽1 + 𝛽2 + 𝜖2

𝑦3 = 𝛽0 − 𝛽1 + 𝛽2 + 𝜖3

##        [,1] [,2] [,3]

## [1,]        1        0        -2

## [2,]        1        1        1

## [3,]        1        -1        1

#Matriz Transpuesta (Xt=t(X))

##        [,1] [,2] [,3]

## [1,]        1        1        1

## [2,]        0        1        -1

## [3,]        -2        1        1

#Multiplicacion de las matrices (XtX = Xt%*%X)

##        [,1] [,2] [,3]

## [1,]        3        0        0

## [2,]        0        2        0

## [3,]        0        0        6

#Inversa del anterior (XtXinv = solve(XtX))

##        [,1] [,2]        [,3]

## [1,] 0.3333333 0.0 0.0000000

## [2,] 0.0000000 0.5 0.0000000

## [3,] 0.0000000 0.0 0.1666667

• II. Dé las expresiónes de los estimadores por mínimos cuadrados ordinarios de 𝛽0, 𝛽1 y 𝛽2: 𝛽0̂ , 𝛽1̂ y 𝛽2̂ . Deberán ser expresiónes en términos de 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3.

Solución:

De la ecuacion 102 de las notas sabemos que 𝛽 = (𝑋̂ 𝑡𝑋)−1𝑋𝑡𝑦, entonces con los resultados del inciso anterior tenemos lo siguiente:

##        [,1]        [,2]        [,3]

...