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Desarrollo

1. Vectores Libres.

Dados los puntos A y B, en el espacio, se llama vector geométrico AB al segmento orientado cuyo origen es A y extremo es B. El punto inicial A y el punto final B pueden estar ubicados en cualquier parte del espacio tridimensional.

El módulo o magnitud de un vector no es más que su longitud.

La dirección de un vector está representada por la dirección de la recta que lo contiene.

El sentido de un vector está dado por la orientación que se le de a la recta que lo contiene, orientación que vendrá dada por la punta de la flecha.

Si CD es otro vector geométrico, paralelo al anterior, del mismo módulo y sentido, decimos que AB y CD son equivalentes o equipolentes AB ≈ CD, es decir, AB es equivalente a CD es idéntico a afirmar que sus componentes coinciden.

AB≈ CD ↔( x2 – x1 , y2 – y1 , z2 - z1) = ( x4 – x3 , y4 – y3 , z4 – z3)

Al conjunto constituido por todos los vectores geométricos equivalentes se le llamaran Vectores Libres.

Un vector libre es una única terna de números V3 = (x1 , x2 , x3), pero con infinitos representantes geométricos. Cualquiera de ellos puede identificarse con el Vector V3.

De todos los representantes de V3, tomaremos aquél cuyo origen coincide con el origen de coordenadas, el cual llamaremos Representante canónico.

2. Longitud o Norma de un Vector.

La norma o módulo de un vector es la medida de la longitud de cualquiera de sus representantes.

Si A = ( x1 , y1 , z1), la expresión que define la norma o el módulo viene dado por la expresión:

│A│= √x12 + y12+ z12

3. Suma de Vectores.

Sean A = ( x1 , y1 , z1 ) y B = (x2 ; y2 , z2 ) dos vectores. La suma de estos vectores queda definida de la siguiente manera:

A + B = ( x1 , y1 , z1 ) + ( x2 , y2 , z2 ) = ( x1 + y1 , x2 + y2 , z1 + z2 )

Propiedades de la Suma de Vectores.

Si a , b y c son vectores en R3 se verican las siguientes propiedades:

La suma de dos vectores en R3 es otro vector.

a + b = ( x1 , y2 , z1 ) + ( x2 , y2 , z2 ) = ( x1 + y1 , x2 + y2 , z1 + z2 )

Propiedad Asociativa:

( a + b ) + c = a +( b + c )

Propiedad Conmutativa:

a + b = b + a

Existencia del Elemento Neutro:

Para cada a existe un ( 0 ) tal que: 0 + a = a

Existencia del Elemento opuesto:

Para cada a existe ( - a ), tal que: a + ( - a ) = 0

Vectores Opuestos

Se dice que un vector es opuesto cuando los valores de sus componentes so opuestos.

Ejemplo:

A = ( x1 , y1 , z1 ) y – A = ( - x1 , - y1 , -z1 )

Se dicen que son opuestos porque el valor de A y - A son opuestos.

4. Producto de un Número Real por un Vector.

Sea A = ( x, y, z ) un vector en R3 y α un número real. El producto del número real α por, el vector A es otro vector definido así:

α A = α ( x, y, z ) = (α x , α y , α z )

5. Espacio vectorial.

Un espacio vectorial real V es un conjunto de vectores del espacio dotados de dos operaciones: suma y multiplicación por escalares que cumple las siguientes propiedades:

Si a y b son vectores en V, entonces a + b esta en V

a + b = b + a

a + (b + c) = (a + b) + c

Existe un vector 0 en V, llamado vector cero, tal que 0 + a = a + 0 = 0

Para cada a de V, existe (-a) en V tal que a+ (-a) = 0

Si α ϵ R y a ϵ V entonces α. a ϵ V

α ( a + b) = α. a + α. B

α (β a) = ( α β) . a

1. a = a

6. Producto Escalar de 2 Vectores.

El producto escalar, también conocido como producto interno, producto interior o producto punto, es una operación binaria definida sobre dos vectores de un mismo espacio euclídeo. El resultado de esta operación es un número o escalar. Esta operación permite explotar los conceptos de la geometría euclídea tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermíticay definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.

Un producto escalar se puede expresar como una expresión:

⟨⋅,⋅⟩:V×V(x,y)⟶⟶Ka=⟨x,y⟩

Donde V es un espacio vectorial y K es el cuerpo sobre el que está definido V. La función ⟨⋅,⋅⟩ (que toma como argumentos dos elementos de V, y devuelve un elemento del cuerpo K) debe satisfacer las siguientes condiciones:

1. Linealidad por la izquierda: ⟨ax+by,z⟩=a⟨x,z⟩+b⟨y,z⟩, y linealidad conjugada por la derecha: ⟨x,ay+bz⟩=a¯⟨x,y⟩+b¯⟨x,z⟩

2. Hermiticidad: ⟨x,y⟩=⟨y,x⟩¯¯¯¯¯¯¯¯,

3. Definida positiva: ⟨x,x⟩≥0, y ⟨x,x⟩=0 si y sólo si x = 0,

Donde x,y,z∈V son vectores de V, a,b∈K representan escalares del cuerpo K y c¯ es el conjugado del complejo c.

Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., R), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte

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