Factoreo

CASO I

CUANDO TODOS LOS TERMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMUN.

a) Factor común monomio

1. Descomponer en factores a2 + 2a .

a2 y 2a contienen el factor común a . Escribimos el factor común a como coeficiente de un paréntesis ; dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir

a 2= a = a y 2a - a = 2, y tendremos: a 2 + 2a = a(a + 2) . R .

2 . Descomponer l0b - 30ab2 .

Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10 .

Tomamos 10 porque siempre se saca el mayor factor común . De las letras, el único factor común es b porque está en los dos términos de la expresión dada y la tomamos con su menor exponente b .

El factor común es 10b . Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro

ponemos los cocientes de dividir l0b/l0b=l

y -30ab2 –l0b=-3ab y tendremos : l0b - 30ab2 =10b(1- 3ab) . R .

b) Factor común polinomio

1 . Descomponer x(a + b) + m(a + b).

Los dos términos de esta expresión tienen de factor común el binomio (a+ b) .

Escribo (a + b) como coeficiente de un paréntesis y dentro del paréntesis escribo los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común

(a + b), o sea :

x(a + b)/ (a + b) = X y m(a + b)/(a + b) = m y tendremos :

x(a+b)+m(a+b)=(a+b)(x+m) . R .

CASO II

FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS

Ejemplo

1. Descomponer ax + bx + ay + by .

Los dos primeros términos tienen el factor común x y los dos últi- mos el factor común y . Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos

últimos en otro precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo + y tendremos :

ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by)

=x(a+b)+y(a+b)

(x+y)(a+b) R.

2. Factorar 3m2 - 6mn + 4m - 8n

Los dos primeros términos tienen el factor común 3m y los últimos el factor común 4 Agrupando, tenemos :

3m2 - 6mn + 4m - 8n = (3m2 - 6mn)+(4m-8n)

=3m(m-2n)+4(m-2n)

= (3m+4)(m-2n) R.

CASO III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, o sea, cuando es el producto de dos factores iguales.

Así, 4a2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de 2a .

En efecto : (2a)2 = 2a x 2a = 4a2 y 2a, que multiplicada por sí misma da 4a2, es la raíz cuadrada de 4a2 .

Obsérvese que (- 2a)2 = (- 2a) X (- 2a) = 4a- ; luego, - 2a

es también la raíz cuadrada de 4a2 .

Lo anterior nos dice que la raíz cuadrada de una cantidad positiva tiene dos signos, + y -

REGLA PARA CONOCER SI UN TRINOMIO ES CUADRADO PERFECTO

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y tercero términos son cuadrados perfectos (o tienen raiz cuadrada exacta) y positivos . y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas .

Así, a 2 - 4ab + 4b2 es cuadrado perfecto porque :

Raíz cuadrada de a2 a

Raíz cuadrada de 4b 2b

Doble producto de estas raíces : 2 x a x 2b = 4ab, segundo término .

REGLA PARA FACTORAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

Se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término .

El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se, eleva al cuadrado .

Ejemplos

1. Factorar m2+ 2m + 1

m2+2m+1 =(m+1)(m+1) = (m+1)2 .R

2. Descomponer 4x2 + 25y2 - 20xy.

Ordenando el trinomio, tenemos :

4x2 - 20xy + 25y2

2x 5y = (2x - 5y) (2x - 5y) = (2x-5y)2 .R

CASO I V

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

En los productos notables se vio que la suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo, o sea, (a + b) (a - b) = a2 - b2

luego, recíprocamente, Podemos, pues, enunciar la siguiente :

a2 - b2 = ( a + b) (a - b) .

REGLA PARA FACTORAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS

Se extrae la raiz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica

la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo

y la del sustraendo .

1. Factorar 1 - a 2.

La raíz cuadrada de 1 es 1 ; la raíz cuadrada de a 2 es a .

Multiplico la suma de estas raíces (1 + a) por la diferencia (1 - a) y tendremos :

1 -a 2 = (1 +a)(1 -a) R .

2. Descomponer 16x 2 – 25y4 .

La raíz cuadrada de 16x2 es 4x ; la raíz cuadrada de 25y4 es 5y2 .

Multiplico la suma de estas raíces (4x + 5y 2 ) por su diferencia (4x - 5y2 ) y

tendremos:

16x2 – 25y4 = (4x + 5y2 ) (4x - 5y 2 ) R.

CASO V

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION

Y SUSTRACCION

1. Factorar x4 + x2y2 + y4

Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto . La raíz

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