Factorial

Factorial de un N´mero Entero Positivou

Carlos Torres

Edu

ma

te

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1.

Introducci´no

El estudio del factorial de un n´mero entero positivo (Z+ ) es de suma importanciau

en esta parte del ´lgebra, ya que este objeto matem´tico ayudar´ a produndizar temasaaa

1como el Binomio de Newton . Al respecto, se presenta un esbozo de la teor´ de factorialıa

de un n´mero entero positivo, junto con las propiedades que nos ayudar´n a enfrentarua

diferentes tipos de problemas.

2.

Definici´no

El factorial de un n´mero entero positivo se define como el producto que se obtieneu

de multiplicar los n´meros enteros desde 1 hasta el n´mero n indicado en el factorial. Lauu

notaci´n de factorial que usaremos es la siguiente: n!.2 Al respecto, la definici´n quedaoo

expresada en s´ımbolos as´ı:

n! = 1 × 2 × 3 × 4 × . . . × (n − 1) × n

Tambi´n:e

n! = n × (n − 1) × (n − 2) × (n − 3) × . . . × 2 × 1

n

n! =

k

k=1

Donde n ∈ Z+

Ejemplos:

1 Considerar

2 El

Z+ = {1, 2, 3, ...}

algunos textos es com´n utilizar otras notaciones como: n , nu

1

3 PROPIEDADES

1! = 1

3! = 1 × 2 × 3 = 6

4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

33

! = , ya que ∈ Z+/

22

√√

2! = , ya que 2 ∈ Z+/

Nota:

Edu

ma

te

3.

Propiedades

1. n! = n (n − 1)! ; n ≥ 2

La prueba es directa, para ello usamos la definici´n de factorial:o

n! = 1 × 2 × 3 × 4 × . . . × (n − 1) ×n

(n−1)!

Para el caso de factorial de cero (0!) se toma por convenci´n el valor de 1. Entonces,o

0! = 1

2. Si n! = m! ; ⇔ n = m∀n, m ∈ Z+ − {1}

Un caso especial de esta propiedad est´ relacionado con la siguiente igualdad:a

n! = 1! para lo cual siguiendo lo enunciado n = 1, pero tambi´n se cumple parae

n = 0.

de lo que se desprende que: n! = n (n − 1)!

3. n (n!) = (n + 1)! − n!

La prueba es inmediata, ya que:

(n + 1)! − n! = (n + 1) n! − n! = n! (n + 1 − 1) = n (n!)

Nota:

En general, no es posible realizar las siguientes operaciones:

(a + b)! = (a)! + (b)!

(a × b)! = (a)! × (b)!

(a)!a

!=

b(b)!

(a)n ! = (a!)n

(a!)! = a!!

Es importante mencionar que (2n)!! equivale a multiplicar todos los n´mero pares desdeu

2 hasta (2n), entonces se cumple que:

Asimismo, para (2n − 1)!! equivale

...