Forma Trigonometrica Polar

Forma trigonométrica o polar de los números complejos

4.2 Forma trigonométrica y forma polar.

Esta expresión, z = r·(cos x + i·sen x), recibe el nombre de forma trigonométrica de z, donde r es el módulo de z y x su argumento.

Definimos la forma polar del número complejo z = r·(cos x + i·sen x) como rx.

4.3 Igualdad de números complejos en forma trigonométrica.

Veamos cuando dos complejos en forma trigonométrica, o en forma polar, son iguales:

Sean z1 = r·(cos x + i·sen x) y z2 = r´·(cos y + i·sen y). Si z1 = z2, entonces r·(cos x + i·sen x) = r´·(cos y + i·sen y). Como dos números complejos iguales tienen el mismo módulo, entonces r = r´, y por tanto, (cos x + i·sen x) = (cos y + i·sen y), de donde:

cos x = cos y ==> y = x + 2·k·pi, con k C Z

sen x = sen y

Por tanto, r·(cos x + i·sen x) = r·[cos (x + 2·k·pi) + i·sen(x + 2·k·pi)], y en forma polar resulta:

rx = rx + 2·k·pi

4.4 Paso de la forma binómica a la forma polar

Hemos visto que z = a + b·i = r·(cos x + i·sen x) = r·cos x + i·r·senx, de donde:

a = r·cos x

b = r·sen x

Por otra parte, sea z = a + b·i un número complejo en forma binómica. Por definición tenemos que:

|z| = (a2 + b2)1/2

Además es:

b/a = (r·sen x)/(r·cos x) = (sen x)/(cos x) = tg x

Por tanto

x = arc tg (b/a)

estudiando el cuadrante de x según los signos de la parte real y de la parte imaginaria le z.

a + bi = rα = r (cos α + i sen α)

Formas:

Binómica z = a + bi

Polar z = rα

Trigonométrica z = r (cos α + i sen α)

Números complejos en forma polar :

Un número complejo en forma polar consta de dos componentes: módulo y argumento.

Módulo de un número complejo

El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

Argumento de un número complejo

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).

.

Expresión de un número complejo en forma polar.

z = rα

|z| = r r es el módulo.

arg(z) = es el argumento.

El argumento φ y módulo r localizan un punto en un diagrama de Argand; o es la expresión polar del punto.

En esta representación, es el módulo del número complejo y el ángulo es el argumento del número complejo.

Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:

Sacamos factor común r:

Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente

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