Función Biyectiva

Función biyectiva

Una función f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo de función biyectiva

a) Veamos si la función f: R → R , donde f(x) = 3x - 2, es biyectiva.

Veamos primero si es inyectiva,

Si las imágenes son iguales:

f(x1) = f(x2) ⇒ 3x1 - 2 = 3x2 - 2 ⇒ 3x1 = 3x2 ⇒ x1 = x2

, los originales son iguales.

Por tanto, la función f es inyectiva.

Veamos ahora si es sobreyectiva:

El conjunto inicial de f es R .

El conjunto final de f es: R

La imagen de f es también R, es decir: Im(f) = R

La imagen de f y el conjunto final de f coinciden: R:

Vease la parte rayada del eje OY. Coincide con todo R

Luego la función f sí es sobreyectiva.

Por tanto, la función f es biyectiva.

b) Veamos si la función g: R → R , donde g(x) = x2, es biyectiva.

La función f es una función par, es decir: f(x) = f(-x).

Por tanto no es inyectiva, pues dos valores distintos, x , -x, tiene imágenes iguales.

Luego f no puede ser biyectiva.

c) Dada la siguiente función h , vamos a ver si es biyectiva.

Veamos primero si es inyectiva,

Si las imágenes son iguales:

, los originales son iguales.

Por tanto, la función h es inyectiva.

Veamos ahora si es sobreyectiva:

El conjunto inicial es: R

El conjunto final es: R

Calculamos el recorrido:

Im(f) = [0 , ∞)

[0 , ∞) ≠ R:

Vease la parte rayada del eje OY. No coincide con todo R

Luego la función h no es sobreyectiva.

Por tanto, la función h no es biyectiva.

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