Función Inversa

Función inversa

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f−1 (b) = a.

Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4

Podemos observar que:

El dominio de f−1 es el recorrido de f.

El recorrido de f−1 es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

(f o f−1) (x) = (f−1 o f) (x) = x

Las gráficas de f y f-1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), y la inversa de una función .

Cálculo de la función inversa

1.Se escribe la ecuación de la función con x e y.

2.Se despeja la variable x en función de la variable y.

3.Se intercambian las variables.

Ejemplos

Calcular la función inversa de:

1.

Sea una función f de dominio Dom (f); si f es inyectiva, entonces f tiene función inversa, que expresamos por f -1, y que está definida por:

Observa que para la función inversa se cumple que:

Dom(f -1) = Im(f) y que Im(f -1) = Dom(f)

Sabemos que una función es un conjunto de pares. Se nos puede ocurrir la idea de dar la vuelta a los pares y obtener así una nueva función. Hagámoslo con la función:f = { (1, 2), (2, 4), (3, -1), (4, -2) }y observemos qué pasa llamando g al conjunto resultante:g = { (2, 1), (4, 2), (-1, 3), (-2, 4) }

Hemos obtenido una nueva función. Sin embargo, esto no funciona siempre. Tomemos ahora como f el conjunto:f = { (1, 2), (2, 4), (3, -1), (4, 2) }y, entonces, g será:g = { (2, 1), (4, 2), (-1, 3), (2, 4) }que no es una función, pues g(2) no está determinado de forma única; es decir, g no cumple la condición de función. Existen dos pares, (2, 1) y (2, 4), que tienen la misma primera coordenada y la segunda coordenada es distinta.

¿Cuál es la diferencia entre estos dos ejemplos? Sencillamente, que en el segundo ejemplo f(1)=f(4)=2 y al darle la vuelta a los pares, g(2) no está determinado de forma única; con lo cual g no es una función. En el primer ejemplo, para valores diferentes de la "x" se obtienen valores diferentes de la "y". Las funciones que se comportan como la del primer ejemplo se llaman funciones inyectivas o uno a uno.

• DEFINICIÓN: Una función f es inyectiva o uno a uno si f(a) es distinto de f(b) cuando a es distinto de b.

Cuando al invertir los pares de que consta una función se obtiene otra función, decimos que dicha función tiene inversa (también llamada recíproca). Por lo dicho anteriormente, sólo tienen inversas las funciones inyectivas.

• DEFINICIÓN: Si f es una función inyectiva,

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