Geometria

1. Teorema de Thales

Si una persona que mide 1,70 m proyecta una sombra de 3,40 m y el mismo día, a la misma hora y en el mismo

lugar la sombra de un árbol mide 15 m, ¿cuánto mide de alto el árbol?

Solución:

Se observa que el objeto mide la mitad que la sombra; por tanto, el árbol mide 15 : 2 = 7,5 m

P I E N S A Y C A L C U L A

Sabiendo que en el siguiente dibujo AB = 18 cm,

BC = 24 cm y A’B’ = 15 cm, halla la longitud del

segmento B’C’. ¿Qué teorema has aplicado?

Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos

midan 4 cm y 3 cm. Dibuja otro triángulo rectángulo

en posición de Thales de forma que el cateto

mayor mida 8 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto?

Dos ángulos de un triángulo miden 45° y 60° y

otros dos ángulos de otro triángulo miden 75°

y 60°. ¿Son semejantes ambos triángulos?

Solución:

El 3er ángulo del 1er triángulo mide:

180° – (45° + 60°) = 180° – 105° = 75°

Es decir, los ángulos del 1er triángulo miden:

45°, 60° y 75°

3

Solución:

r = 8 : 4 = 2

c’ = 2 · 3 = 6 cm

2

Solución:

—A’B’ B’C’ =—

AB BC

—15 B’C’ =—

18 24

B’C’ = 20 cm

Hemos aplicado el teorema de Thales.

1

A P L I C A L A T E O R Í A

A

a

b

c

r s

A'

B

B'

C

C'

c = 3 cm

A b = 4 cm B B'

C

C'

TEMA 7. SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA 219

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2. Teorema de Pitágoras

¿Cuáles de las siguientes ternas son pitagóricas?

a) 3, 4 y 5 b) 6, 7 y 8 c) 6, 8 y 10 d) 5, 12 y 13

Solución:

a) 32 + 42 = 52 b) 62 + 72 ? 82 c) 62 + 82 = 102 d) 52 + 122 = 132

Son ternas pitagóricas a), c) y d)

P I E N S A Y C A L C U L A

Los dos triángulos del siguiente dibujo son semejantes.

Halla cuánto miden a’ y c’

En una foto están Ana y su madre. Se sabe que

Ana mide en la realidad 1,65 m. En la foto Ana

mide 6,6 cm, y su madre, 6,88 cm. ¿Cuánto mide su

madre en la realidad?

Un palo vertical de 1,75 m proyecta una sombra

de 2 m. Si la sombra de un edificio el mismo día, en

el mismo sitio y a la misma hora mide 24 m, ¿cuánto

mide de alto el edificio?

La superficie de una esfera es de 15 m2. Halla la

superficie de otra esfera en la que el radio mide el

triple.

Solución:

S’ = 32 · 15 = 135 m2

7

Solución:

—2 24 =—

1,75 x

x = 21 m

6

Solución:

—6,6 6,88 =—

165 x

x = 172 cm = 1,72 m

5

Solución:

r = b’ : b

r = 3 : 2 = 1,5

a’ = 1,5 · 2,5 = 3,75 cm

c’ = 1,5 · 3 = 4,5 cm

4

El 3er ángulo del 2º triángulo mide:

180° – (75° + 60°) = 180° – 135° = 45°

Es decir, los ángulos del 2º triángulo miden:

45°, 60° y 75°

Como los dos triángulos tienen sus ángulos iguales,

son semejantes.

b' = 3 cm

c = 3 cm

a = 2,5 cm

b = 2 cm

c'

a'

220 SOLUCIONARIO

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En un triángulo rectángulo la altura relativa a la

hipotenusa divide a ésta en dos segmentos de longitudes

1,5 cm y 6 cm. Halla la longitud de dicha

altura y dibuja el triángulo rectángulo.

En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide

10 m y la proyección del cateto b sobre ella mide

3,6 m. Halla:

a) la longitud del cateto b

b) la longitud de la proyección del cateto c sobre

la hipotenusa.

c) la longitud del cateto c

d) la longitud de la altura relativa a la hipotenusa h

e) Dibuja el triángulo rectángulo.

En un triángulo rectángulo los catetos miden

4,5 cm y 3 cm. Haz el dibujo y halla la longitud de la

hipotenusa. Redondea el resultado a dos decimales.

En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 5,5 cm,

y un cateto, 4 cm. Haz el dibujo y halla la longitud del

otro cateto. Redondea el resultado a dos decimales.

Dibuja la interpretación gráfica del teorema de

Pitágoras en el caso en que los lados midan 6, 8 y

10 cm

Solución:

62 + 82 = 102 ò 36 + 64 = 100

12

Solución:

a2 = b2 + c2 ò c = √

—a

2 – b2

c = √

—

5,52 – 42 = 3,77 cm

11

Solución:

a2 = b2 + c2 ò a = √

—b

2 + c2

a = √

—

4,52 + 32 = 5,41 cm

10

Solución:

a) b2 = a · b’ ò b = √

—

a · b’

b = √

—

10 · 3,6 = 6 m

b) c’ = a – b’

c’ = 10 – 3,6 = 6,4 m

c) c2 = a · c’ ò c = √

—

a · c’

c = √

—

10 · 6,4 = 8 m

d) h2 = b’ · c’ ò h = √

—

b’ · c’

h = √

—

3,6 · 6,4 = 4,8 m

e) Dibujo

9

Solución:

h2 = b’ · c’ ò h = √

—

b’ · c’

h = √

—

1,5 · 6 = 3 cm

8

A P L I C A L A T E O R Í A

a

b

c

h = 3 cm

b' = 1,5 cm c' = 6 cm

b = 4,5 cm

c = 3 cm

a

b = 4 cm

a = 5,5 cm

c

6

10

102

82

62

8

a = 10 cm

b = 6 cm c = 8 cm

b' = 3,6 cm c' = 6,4 cm

h = 4,8 cm

TEMA 7. SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA 221

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

¿Cuáles de las siguientes ternas son pitagóricas?

a) 2, 3 y 4 b) 3, 4 y 5

c) 4, 5 y 6 d) 5, 12 y 13

En una pirámide cuadrangular la arista de la base

mide 3 cm, y la altura, 4 cm. Calcula el área lateral

de dicha pirámide. Redondea el resultado a dos

decimales.

Calcula la diagonal de un ortoedro cuyas aristas

miden 8 m, 4 m y 3 m

Solución:

Aplicando el teorema de Pitágoras en el espacio:

D2 = 82 + 42 + 32

D = 9,43 m

15

Solución:

h2 = 1,52 + 42

h = 4,27 cm

A 3 · 4,27 L = 4 ·

...