Guia de angulos.

[pic 1][pic 2]

[pic 3]

     ANGULO CONVEXO, LLANO Y CONCAVO

1. En el plano π, (figura 1) hemos dibujado las rectas A y B que solo tienen en común el punto o.

[pic 4]La recta A particiona a π en x (semiplano) y Ω (semiplano abierto). La recta B, particiona a π en φ (semiplano abierto) y λ (semiplano).Si realizamos (x∩λ) es la región del plano que vemos en la (figura 2), esta región del plano recibe el nombre de ángulo convexo.

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¿Cuál es el conjunto, (x ᴜ λ)? Observa la (figura 3), en este caso destacamos el ángulo cóncavo

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Y por ultimo nos falta considerar el ángulo llano: llamaremos así a todo semiplano (figura 4)

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Resulta entonces que en lugar de hablar de las rectas A y B, con un único punto común que particionan al plano, podríamos, hablar de esas rectas  A y B, determinando cada una de ellas dos semiplanos.

Estamos ya en condiciones de dar la siguiente definición:

¨Dadas dos rectas  A y B, de un mismo plano con un único punto común, determinando cada una dos semiplanos, llámese

1. Angulo convexo a la intersección
2. Angulo cóncavo a la unión
3. Angulo llano, a cualquier semiplano¨

Observen la (figura1) el punto o determina en la recta A dos semirrectas; y también dos semirrectas en la recta B. Y tanto en la (figura 2) como en la (figura3), de cada una de esas rectas hemos tomado una semirrecta: las dos semirrectas dibujadas son parte del ángulo y se denominan lados del mismo. En cuanto al punto o, común a las dos semirrectas, recibe el nombre de vértice del ángulo.

En consecuencia en la (figura 2) oa y ob son los lados del ángulo convexo; y  o es el vértice de este ángulo. En la (figura 3), oa y ob son los lados del ángulo cóncavo y o es el vértice del mismo. Y en la (figura4), oa y oa1 son los lados del ángulo llano y o es su vértice.

Ahora bien, todo punto perteneciente a un ángulo pero no perteneciente a uno de sus lados, recibe el nombre de punto interior del ángulo.

OTRA FORMA DE ESTUDIAR EL ANGULO

En efecto, consideremos la semirrecta oa contenida en el plano π (figura 5). Y supongamos que la misma gira en ese plano alrededor de su punto de origen. Puede girar en el sentido indicado por la flecha 1 ( que es el que tienen las agujas del reloj apoyado en π con la esfera descubierta hacia el observador); o en el sentido indicado por la flecha 2.

[pic 8]El primero de estos sentidos se distingue con el nombre de sentido horario y el segundo con el de sentido antihorario (estos dos son los únicos sentidos de rotación en el plano).

Entonces bien, al moverse la semirrecta en uno de esos sentidos pasara desde su posición inicial a una final; y en ese movimiento barrerá una superficie: esta superficie se denomina ángulo.

En consecuencia podemos dar la siguiente definición:

¨llamaremos ángulo a la superficie barrida por una semirrecta contenida en un plano que gira alrededor de su punto de origen, en alguno de los sentidos de rotación en el plano, al pasar desde una posición inicial a una final, manteniéndose siempre en ese plano.¨

En la (figura 6) podemos destacar que el ángulo convexo se genero mediante la rotación de la semirrecta ob alrededor de o, girando en el sentido antihorario, hasta ocupar la posición oa.

Podemos también considerar que el ángulo convexo se genero mediante la rotación de la semirrecta oa alrededor de o, girando en el sentido horario hasta ocupar la posición ob.

[pic 9][pic 10]

[pic 11]

En la (figura 7) podemos destacar que el ángulo cóncavo se genero mediante la rotación de la semirrecta ob´ alrededor de o, girando en el sentido horario hasta ocupar la posición oa´. Podemos también considerar que el ángulo cóncavo se generó por la rotación de oa´ alrededor de o, girando en el sentido antihorario hasta ocupar la posición ob´.

Por último en la (figura 8) podemos destacar que el ángulo llano se genera mediante la rotación de la semirrecta oa, alrededor de o, girando en el sentido horario hasta ocupar la posición oa´. Podemos considerar también, que el ángulo llano se generó mediante la rotación de  la semirrecta oa´ alrededor de o, girando en el sentido antihorario hasta ocupar la posición oa.

1. Hay también una tendencia a llamar ángulo a la unión de dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen (figura 9); y designar con el nombre de sector angular del plano o simplemente sector angular, a lo que nosotros llamamos ángulo.

[pic 12]

Generalmente se traza un arco de circunferencia, con centro en el vértice, que va desde uno de los lados del ángulo al otro lado, cruzando esa superficie (figuras 10, 11 y 12).

[pic 13]

En cuanto a las notaciones, las más importantes son las siguientes:

1°) una letra griega minúscula:

                                                       (α) se lee ¨ángulo alfa¨

2°) sobre cada lado se destaca un punto distinto del vértice; y se escribe uno de estos puntos, después del vértice y finalmente el otro punto; y se dibuja un pequeño ángulo sobre esa notación:

                 aôb se lee ¨ángulo de aob¨

3°) la letra que designa al vértice con un pequeño ángulo sobre esa letra:

               Ô se lee ¨ángulo o¨o mejor ¨ángulo de vértice o¨

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