Historia del gas y petroleo.

Sistema de referencia

• Vector de dos puntos • Punto medio de dos puntos

2. Ecuaciones de la recta

2.1. Tipos de Ecuaciones de la recta

3. Ecuaci´on del plano

3.1. Tipos de Ecuaciones del plano

4. Posici´on relativa de dos planos

4.1. Haz de planos

5. Posici´on relativa de recta y plano

6. Posici´on relativa de tres planos

7. Posici´on relativa de dos rectas

• Rectas paralelas • Rectas coincidentes • Rectas que se cortan o

se cruzan

Soluciones a los Ejercicios

Soluciones a los Tests

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A

s = B + m v

r = A + l u

B

d

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Secci´on 1: Sistema de referencia 3

1. Sistema de referencia

Un sistema de referencia en el espacio

consta de un punto O llamado

origen y tres vectores {~i,~j,~k}.

Cualquier punto P(x0, y0, z0) tiene

un vector de posici´on −−→OP.

−−→OP = x0

~i + y0

~j + z0

~k

y

x

z

O

~j

~k

~i

P

y0

x0

z0

• Vector de dos puntos

Dados los puntos A(x0, y0, z0) y

B(x1, y1, z1) se tiene

−→OA +

−−→AB =

−−→OB

luego

−−→AB =

−−→OB −

−→OA

y

x

z

O

~j

~k

~i

A

B

−→

AB

−→AB = (x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0)

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Secci´on 1: Sistema de referencia 4

• Punto medio de dos puntos

Dados los puntos A(x0, y0, z0) y

B(x1, y1, z1) se tiene que el punto

medio del segmento AB verifica

−−→AB = 2

−−→AM

luego

(B−A) = 2 (M−A) =⇒ M =

A + B

2

O

A

B

M

M =



x0 + x1

2

,

y0 + y1

2

,

z0 + z1

2



Ejemplo 1.1. Hallar el vector −−→AB y el punto medio de los puntos A(−1, 3, 4)

y B(3, 1, 2).

Soluci´on: −−→AB = B − A = (3, 1, 2) − (−1, 3, 4) = (4, −2, 2)

M =



−1 + 3

2

,

3 + 1

2

,

4 + 2

2



= (1, 2, 3)

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Secci´on 2: Ecuaciones de la recta 5

2. Ecuaciones de la recta

Definici´on 2.1 La ecuaci´on de una recta viene determinada por un punto

A(x0, y0, z0) y un vector ~u.

r ≡< A; ~u >

En el dibujo se observa que un punto X pertenece a la recta r, si el vector

−−→AX es proporcional al vector ~u, es decir −−→AX = λ ~u para alg´un λ ∈ R.

Siendo −−→OX =

−→OA +

−−→AX

−−→AX =

−−→OX −

−→OA

−−→OX −

−→OA = λ ~u

(X − O) − (A − O) = λ ~u

despejando X se obtiene la ecuaci´on

r ≡ X = A + λ ~u (1)

A

X

u

O

r

en coordenadas se obtiene

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ (u1, u2, u3)

Dependiendo de como escribamos la expresi´on anterior obtenemos diferentes

ecuaciones de la recta.

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Secci´on 2: Ecuaciones de la recta 6

2.1. Tipos de Ecuaciones de la recta

Ecuaci´on Vectorial. Expresando la ecuaci´on 1 en coordenadas

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ (u1, u2, u3)

Ecuaciones Param´etricas. Separando las componentes

x = x0 + λ u1

y = y0 + λ u2

z = z0 + λ u3







Ecuaciones Continua. Despejando en la expresi´on anterior el par´ametro

λ e igualando

x − x0

u1

=

y − y0

u2

=

z − z0

u3

Ecuaciones Cartesianas. Operando las igualdades, es decir, agrupando

t´erminos y ordenando se obtiene las expresiones:

Ax + By + Cz + D = 0

A

0x + B

0

y + C

0

z + D0 = 0 

Ejemplo 2.1. Determinar las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos

A(1, 2, 1) y B(0, 3, 2).

Soluci´on: El vector director ~u = AB~ = (−1, 1, 1)

Ecuaci´on Vectorial. (x, y, z) = (1, 2, 1) + λ (−1, 1, 1)

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Ecuaciones Param´etricas.

x = 1 − λ

y = 2 + λ

z = 1 + λ







Ecuaci´on Continua.

x − 1

−1

=

y − 2

1

=

z − 1

1

Ecuaciones Cartesianas. Operando las igualdades, agrupando t´erminos

y ordenando se obtiene las expresiones:

x − 1

−1

=

y − 2

1

y − 2

1

=

z − 1

1







⇒ r ≡



x + y − 3 = 0

y − z − 1 = 0 

Ejemplo 2.2. Determinar de la recta r ≡

x − 1

2

=

y + 1

3

=

z − 2

1

, su direcci´on

y dos puntos de la misma.

Soluci´on: La direcci´on viene dada por ~u = (2, 3, 1). Un punto es A(1, −1, 2).

Para hallar otro punto usamos la expresi´on vectorial

r ≡ X = A + λ ~u

Haciendo λ = 2 obtenemos

X1 = (1, −1, 2) + 2 (2, 3, 1) = (5, 5, 4)

...