Integracion Multiple

Tema 10

Integrales dobles y triples

Hasta ahora se han calculado el ´area de figuras geom´etricas planas elementales:

el rect´angulo, el c´ırculo, el trapecio, etc. Pero, ¿c´omo calcular el ´area

de figuras no regulares? Una buena aproximaci´on puede ser la de dividir la

zona en peque˜nos rect´angulos y sumar las ´areas de cada uno de ellos:

Figura 10.1: Mallado para la aproximaci´on del ´area

Esta idea era la que subyac´ıa en la construcci´on de la integral que vimos

en el tema anterior y que nos permiti´o calcular longitudes de curvas, ´areas

limitadas por curvas y vol´umenes de cuerpos de revoluci´on. En este tema, se

generaliza el concepto de integral definida a funciones de dos o tres variables,

obteniendo las llamadas integrales de ´area o de volumen, respectivamente.

Esto nos permitir´a calcular el volumen de cuerpos limitados por superficies,

no necesariamente de revoluci´on. Tambi´en permitir´a calcular ´areas mediante

integrales dobles sencillas que en el tema anterior resultaban algo m´as

complicadas. Se empezar´a definiendo la integral sobre un rect´angulo.

206

10.1. Integrales dobles sobre rect´angulos

Sea f(x, y) una funci´on acotada sobre un rect´angulo R = [a, b] × [c, d]. Una

partici´on del rect´angulo R son dos conjuntos de puntos {xj}nj

=0 e {yj}mj

=0,

satisfaciendo

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b c = y0 < y1 < y2 < . . . < ym = d

es decir, P = P1 × P2, donde P1 y P2 son particiones de [a, b] y [c, d],

respectivamente.

Se llama ´area de R a v(R) = (d−c)(b−a). Toda partici´on divide al rect´angulo

R en n · m subrect´angulos Rjk = [xj−1, xj ] × [yk−1, yk], j = 1, . . . , n, k =

1, . . . ,m como se observa en la Figura 10.2.

Se llama norma de la partici´on P a

kPk = m´ax{v(Rjk) : j = 1, . . . , n; k = 1, . . . ,m}

Figura 10.2: Una partici´on del rect´angulo R = [a, b] × [c, d]

Consid´erese cualquier punto cjk del rect´angulo Rjk y f´ormese la suma

S(f, P) =

nX−1

j=0

mX−1

k=0

f(cjk)v(Rjk)

207

llamada suma de Riemann para f

En la siguiente gr´afica hemos representado las sumas de Riemann para la

funci´on f(x, y) = x2 + y2 tomando como punto cjk el punto medio del

rect´angulo y el punto inferior del rect´angulo.

00.250.50.75 10

0.25

0.5

0.75

1

0

0.5

1

1.5

2

1

(a) cjk como punto inferior

0

0.25

0.5

0.75

1

0

0.25

0.5

0.75

1

0

0.5

1

1.5

2

(b) cjk como punto medio

Figura 10.3: Sumas de Riemann

Definici´on 10.1 Si la sucesi´on {S(f, P)} converge a un l´ımite S, cuando

la norma de la partici´on tiende a 0, que es el mismo para cualquier elecci´on

de cjk, entonces se dice que f es integrable sobre R y se escribe

ZZ

R

f(x, y)dxdy = l´ım

kPk→0

nX−1

j=0

mX−1

k=0

f(cjk)v(Rjk)

A continuaci´on se resumen las propiedades m´as importantes de las funciones

integrables.

Teorema 10.2 Sean f y g dos funciones integrables sobre un rect´angulo

R. Entonces

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1. (Linealidad) f + g es integrable sobre R y

ZZ

R

(f(x, y) + g(x, y))dxdy =

ZZ

R

f(x, y)dxdy +

ZZ

R

g(x, y)dxdy

2. (Homogeneidad) αf es integrable sobre R, para todo α ∈ R, y

ZZ

R

αf(x, y)dxdy = α

ZZ

R

f(x, y)dxdy

3. (Monoton´ıa) Si f(x, y) ≤ g(x, y), para todo (x, y) ∈ R, entonces

ZZ

R

f(x, y)dxdy ≤

ZZ

R

g(x, y)dxdy

4. (Aditividad) Si R = P ∪Q con P y Q dos rect´angulos cuya intersecci´on

es una l´ınea recta o un punto o vac´ıa, entonces

ZZ

R

f(x, y)dxdy =

ZZ

P

f(x, y)dxdy +

ZZ

Q

f(x, y)dxdy

5. (Valor absoluto) |f| tambi´en es integrable y se verifica

ZZ

R

f(x, y)dxdy

≤

ZZ

R |f(x, y)|dxdy

Un primer ejemplo de una amplia clase de funciones integrables la proporciona

el siguiente teorema

Teorema 10.3 Toda funci´on continua sobre un rect´angulo cerrado R es

integrable

Aunque la clase de las funciones integrables es mucho m´as amplia, el teorema

anterior ser´a suficiente en muchos casos pr´acticos.

En general, las funciones integrables son aquellas que son continuas salvo en

conjuntos ”muy peque˜nos”.

Definici´on 10.4 (Medida nula) Un subconjunto de Rn tiene contenido

nulo si, dado ǫ > 0, existe un n´umero finito de rect´angulos que lo recubren

y la suma de sus vol´umenes es menor que ǫ.

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Un subconjunto de Rn tiene medida nula si, dado ǫ > 0, existe una sucesi´on

(finita o infinita) de rect´angulos, Rn, que lo recubren y cumpliendo.

∞X

n=1

V (Rn) < ǫ

El criterio general para saber qu´e funciones son integrables lo proporciona

el siguiente teorema

Teorema 10.5 (Criterio de Lebesgue) Una funci´on definida en un rect

´angulo es integrable Riemann si, y s´olo si, el conjunto de puntos de discontinuidad

de la funci´on tiene medida nula.

10.1.1. C´alculo de integrales dobles

El c´alculo de una integral doble se realiza mediante el c´alculo de dos integrales

iteradas, de acuerdo al siguiente teorema:

Teorema 10.6 (Teorema de Fubini) Sea f una funci´on integrable sobre

un rect´angulo R = [a, b] × [c, d].

1. Si para cada x ∈ [a, b], la secci´on transversal fx(y) := f(x, y), y ∈ [c, d],

es integrable sobre [c, d], entonces la funci´on

F(x) :=

Z d

c

fx(y)dy

es integrable sobre [a, b] y se verifica

ZZ

R

f(x, y)dxdy =

Z b

a

F(x)dx =

Z b

a

Z d

c

f(x, y)dy



dx

2. Si para cada y ∈ [c, d], la secci´on transversal fy(x) := f(x, y), x ∈ [a, b],

es integrable sobre [a, b], entonces la funci´on

G(y) :=

Z b

a

...