La Prueba Del 9

ACERCA DE LA PRUEBA DEL 9

Ante el reto de comprobar si el resultado de una suma, resta, multiplicación o división es correcto o no lo es, el procedimiento que se sigue hoy día dista mucho del que yo recuerdo, 30 años ha, mi padre y maestros hacían. Es evidente que en el día de hoy las cuatro operaciones básicas se verifican mediante la repetición de las mismas un número suficiente de veces (normalmente dos, máximo tres veces) constatando que el resultado obtenido coincide. Se podría pensar que es un procedimiento largo, sobre todo si los números son grandes, pero todo se reduce a tocar botones en un aparato que calcula por nosotros y, así, el proceso se justifica a sí mismo pese a las grandes desventajas que tiene: un entrenamiento mental nulo y una autoestima inexistente ante la falta de calidad del procedimiento entre otras.

Hace 30 años las calculadoras no eran tan numerosas ni baratas, las comprobaciones marchaban por derroteros muy diferentes y, desde luego, no se repetían las operaciones si estaban bien. El procedimiento, llamado la “prueba del nueve”, no tiene esa edad ni mucho menos pues es muy antiguo como se verá más adelante, pero quizá sea esa la cantidad de años que hace que empezó a declinar hasta hoy día que está en total desuso. Puedo recordar que cuando mi padre hacía una multiplicación o una división no faltaba al lado de la cuenta un aspa con cuatro números, dos de ellos coincidentes si la operación estaba bien realizada, y que se rellenaba con una cantinela. A modo de ejemplo (fig. 1): “dos mil quinientos sesenta y siete, fuera los nueves 2; setenta y ocho, fuera los nueves 6; seis por dos doce, fuera los nueves 3; doscientos mil doscientos veintiséis, fuera los nueves 3”.

Aquella cantinela de “fuera los nueves” (o también “fuera de los nueves”) queda ya en el recuerdo de las enseñanzas de antes. La expresión “prueba del nueve” se utiliza hoy día como prueba clara de la verdad o falsedad de una cuestión debatida. Así se recoge en la página web del diccionario de la Real Academia Española cuando se introduce la palabra “prueba” en el buscador. Aparece este significado, sin embargo, como una enmienda para la próxima edición vigésimo tercera pues la edición vigente hoy (22ª) no recoge acepción alguna respecto del término. Este hecho confirma que la expresión se utiliza mucho en ese sentido y se puede decir que ha pasado la prueba del nueve para aparecer en la nueva edición del diccionario. Tuve otra prueba del nueve de esta afirmación cuando busqué referencias en Internet para este artículo. Así, cuando escribí “prueba del nueve” en el buscador de Google aparecieron 44900 resultados pero muy pocos se referían al punto de vista matemático. La gran mayoría se referían a la utilización de la expresión en el sentido con el que aparecerá en la próxima edición del diccionario de la Real Academia Española.

Es necesario mencionar aquí, en el contexto de lo dicho en el párrafo anterior y tal como se verá más adelante, que desde el punto de vista matemático la prueba del nueve es condición necesaria pero no suficiente para verificar una operación. Con esto quiero decir que si una operación matemática no ha sido bien efectuada entonces no habrá de cumplir la prueba del nueve, pero si la operación matemática sí verifica la prueba, no es suficiente para tener la certeza de que el cálculo ha sido correctamente efectuado. Habrá que decir entonces que desde el punto de vista matemático la prueba del nueve no es infalible en lo que pretende, aunque la profusión con que se utilizaba antaño le ha dado la firmeza suficiente para que hoy día sí que denote infalibilidad la expresión “pasar la prueba del nueve” desde un punto de vista lingüístico.

Después de esta larga introducción, mencionar que a partir de aquí el propósito principal de este artículo es explicar en qué consiste la prueba del nueve y en aplicarla a ejemplos concretos. No obstante, no me detendré sólo en estos puntos ya que también mencionaré brevemente los orígenes históricos que he podido encontrar y finalmente realizaré un estudio propio del fundamento matemático de la prueba.

¿En qué consiste la prueba del nueve?

Podemos empezar por una definición formal de la prueba del nueve. Ya que la edición 23ª del diccionario de la Real Academia Española también recogerá su significado matemático, se puede empezar por dicha definición: “cálculo sencillo que sirve para verificar el resultado de las operaciones aritméticas, especialmente en la multiplicación y en la división, fundado en que el resto de dividir un número por nueve es el mismo que el de dividir también por nueve la suma de sus cifras”. En realidad esta prueba se puede aplicar a todas las operaciones con números naturales. Consiste en:

1) Hallar los restos de la división por 9 de los componentes de la operación aritmética.

2) Realizar con estos restos la misma operación aritmética y calcular para el resultado obtenido su resto cuando se divida por 9.

3) Obtener también el resto de dividir por 9 el resultado de la operación aritmética.

4) Comparar los números obtenidos en los pasos 2 y 3. Se pasa la prueba si coinciden.

Visto así el asunto parece lioso y largo pues se está diciendo que hay que dividir por 9 varias veces, sin embargo el número 9 es especial cuando de dividir por él se trata: se puede conocer el resto de dividir cualquier número por 9 sin más que sumar sus cifras y hacerlo de nuevo con el resultado hasta que quede una sola cifra que será el resto, excepto si la cifra es precisamente 9, entonces el resto es cero. Los ejemplos en este caso serán más clarificadores:

División Cálculo del resto Resto

3548 : 9 3 + 5 + 4 + 8 = 20

2 + 0 = 2 2

5478569 : 9 5 + 4 + 7 + 8 + 5 + 6 + 9 = 44

4 + 4 = 8 8

4752 : 9 4 + 7 + 5 + 2 = 18

1 + 8 = 9 0

Cada vez que se obtiene el resto de esta manera es cuando se debe decir “fuera los nueves” o “fuera de los nueves”, así, decimos: 3548 fuera de los nueves 2. Como vemos obtener el resto de dividir entre 9 es muy sencillo y se puede hacer mentalmente.

Aplicaciones prácticas de la prueba del nueve

Abordemos la prueba para la multiplicación. En la figura 1 anterior se ha multiplicado 2567 x 78, siendo el resultado que queremos comprobar 200226. Recordemos que 2567 es el multiplicando, 78 es el multiplicador y 200226 es el producto.

En primer lugar se trazará un aspa a la derecha de la multiplicación para delimitar cuatro huecos que rellenaremos de la siguiente manera:

2567 x 78 = 200226

Paso nº Objetivo Cálculo Resultado

1 Calcular

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