Linealización de modelos no-lineales

Linealización de modelos no-lineales

El método de transformadas de Laplace permite relacionar la respuesta característica, en estado estable y estado transitorio, de una amplia variedad de sistemas físicos con los parámetros de sus funciones de transferencia. Desafortunadamente, solo los sistemas lineales, que pueden representarse por ecuaciones diferenciales lineales (aquellas que constan de una suma de términos cada uno de los cuales no contienen más de una variable o derivada, y que deben aparecer a la primera potencia), pueden ser analizadas por transformadas de Laplace (Smith & Corripio, 1997).

La dificultad de operar con un modelo no-lineal consiste en que la obtención de soluciones analíticas y numéricas es de un orden de complejidad mucho mayor que para modelos lineales.

Entre los métodos de tratamiento de sistemas no-lineales se encuentra la técnica de linealización, que consiste en aproximar la respuesta no-lineal de sistemas con ecuaciones diferenciales lineales que puedan ser analizadas por transformadas de Laplace (Himmelblau y Bischoff, 1976).

La expresión de una ecuación en forma lineal implica que la ecuación es una representación exacta para un cierto intervalo de las variables, alrededor del punto base sobre el cual se hace la linealización. Si se intenta extrapolar fuera de este intervalo se corre el peligro de errar, puesto que pocos procesos reales son lineales en amplios intervalos de las variables. Afortunadamente existen muchos problemas en los que, o bien los efectos no lineales son pequeños, o solamente es necesario estudiar las variables en un intervalo limitado. En estos casos los términos no lineales se pueden linealizar y aplicar entonces los principios del análisis lineal. Para facilitar la manipulación de ecuaciones linealizadas, se selecciona el estado estable inicial como punto base para la linealización

y se hace uso de variables desviación definidas a continuación (Himmelblau y Bischoff, 1976;

Smith & Corripio, 1997).

Debido a que interesa estudiar la respuesta del proceso a las variables de entrada (disturbios y variables manipuladas), se desea eliminar el efecto de las condiciones iniciales en la respuesta. Para hacer esto, se supone que las condiciones iniciales están en estado estable. Con ello, las derivadas respecto al tiempo de los valores iniciales se hacen igual a cero, pero no el valor inicial de

la salida en sí misma. Para eliminar el valor inicial de la salida, se reemplaza la variable de salida

con su desviación del valor inicial. Esto da lugar a las variables desviación, definidas como:

F(t)  f (t)  f (0)

Donde F(t) representa la variable desviación y f(t) el valor total de la variable. A partir de esta definición, su valor inicial es siempre cero: F(0) = f(0) – f(0) = 0. Ahora considérese la ecuación diferencial lineal de orden n:

Donde n > m, y(t) es la variable de salida, x(t) es la variable de entrada y c es una constante. En el estado estable inicial, todas las derivadas en el tiempo son cero, entonces

a0 y(0)  b0x(0)  c

Restando la ecuación anterior de la ecuación (1.3.7) resulta en

Donde Y(t) y X(t) son variables desviación que pueden sustituirse directamente por sus respectivas variables en términos de derivadas, puesto que:

Nótese que la ecuación (1.3.9) en variables desviación es esencialmente igual a la ecuación original (1.3.7) excepto por la constante c, la cual se cancela.

La técnica básica para la linealización de funciones de una variable consiste en el desarrollo de la función no-lineal según una serie de Taylor alrededor de un valor de referencia de la variable en el dominio que interesa. La serie de Taylor para

...