Logica De Predicados

Segunda parte

LÓGICA DE PREDICADOS

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Idea de la lógica de predicados

Los métodos empleados en la lógica de proposiciones resultan insuficientes para examinar otros tipos de inferencias. Así, por ejemplo, no es posible decidir con dichos métodos la validez de esta sencilla inferencia:

Todos los peruanos son sudamericanos Todos los ayacuchanos son peruanos

Luego, todos los ayacuchanos son sudamericanos.

Expresando simbólicamente las premisas y la conclusión de la inferencia, tendríamos:

p (p  q)  r

q

r

La inferencia propuesta es intuitivamente válida, sin embargo, esta fórmula “p” y “q” implica “r” es inválida porque es posible hacer verdaderas las premisas y falsa la conclusión. Examinando atentamente la estructura de la inferencia llegamos a la evidencia que su validez depende no sólo de las relaciones existentes entre

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sus proposiciones, sino también de las relaciones existentes entre los elementos de sus proposiciones, elementos conocidos tradicionalmente con el nombre de términos.

De este nuevo tipo de inferencia, basado en el análisis de la estructura interna de las proposiciones atómicas, se ocupa esta segunda parte de la lógica llamada lógica de los predicados.

Hay semejanza entre los predicados del lenguaje natural y los

predicados lógicos, en el sentido de que palabras que denotan pro

piedades o cualidades como ‘rojo’, ‘caliente’, ‘veloz’, ‘peruano’, etc.,

son predicados gramaticales y también predicados lógicos de una

posición o de un argumento, en el sentido de que se afirman de

sólo un nombre como ‘Juan es veloz’. La diferencia que hemos se

ñalado antes se produce con términos como ‘gato’, ‘león’ u otros

que son sustantivos comunes, pero que en lógica en ningún caso

son nombres, sino predicados. La situación se acentúa más con

palabras como ‘hermano’, ‘cuñado’, ‘cabeza’ que el lenguaje de la

lógica de predicados interpreta como predicados de dos posicio

nes o predicados relacionales en el sentido de que se aplican a

dos nombres como, por ejemplo, ‘Juan es hermano de Magda’ o

‘Elena es cuñada de Rosa’. En estos casos, de manera general, los

predicados son ‘... hermano de...’, ‘... cuñado de...’, ‘... cabeza de...’.31

La lógica de predicados, llamada también lógica cuantifica

cional, comienza distinguiendo dos clases de términos: los que re

presentan individuos (gramaticalmente “sujetos”) y los que repre

sentan propiedades (gramaticalmente “predicados”). Lógicamente

los llamaremos argumentos y predicados respectivamente, de

acuerdo a este esquema:

Raúl canta

Predicado Argumento

31 PISCOYA HERMOZA, Luis, Lógica, Lima, Facultad de Educación de la

UNMSM, 1997, p. 245.

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El predicado determina al argumento y es considerado por la lógica de predicados como una nota o característica del sujeto.

Las proposiciones que intervienen en este nuevo tipo de infe

rencia son atómico-predicativas. Consecuentemente, de acuerdo a la cantidad del sujeto, pueden clasificarse en:

a) Singulares: el sujeto es un individuo. Ejemplo: Manuel Kant es

filósofo.

b) Universales: el sujeto es una totalidad de individuos. Ejemplo:

Todos los geriatras son médicos.

c) Particulares: el sujeto es una parcialidad de individuos. Ejem

plo: Algunos musulmanes son talibanes.

La cantidad del sujeto en estas proposiciones introduce nuevos elementos, los cuantificadores, representados por los términos “todos ” y “algunos ” . Estos nuevos elementos determinan cuantitativamente a sus argumentos.

Sintaxis de la lógica de predicados

Los símbolos que introduce la lógica de predicados son:

• Variables individuales, que representan individuos indetermi

nados. Se emplean las últimas letras minúsculas del alfabeto: x,

y, z.

• Constantes individuales, que representan individuos determi

nados. Se utilizan las primeras letras minúsculas del alfabeto: a,

b, c, d...

• Variables predicativas, que representan predicados indetermi

nados. Se usan estas letras mayúsculas: F, G, H…

• Cuantificadores, hacen referencia a la totalidad o a una parte de

los miembros de un conjunto. Pudiendo ser la generalización

universal o particular, los cuantificadores son de dos tipos:

( ...): cuantificador universal

(  ...): cuantificador existencial

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Los símbolos “ ” y “ ” se llaman cuantificadores. En el espacio vacío que le sigue dentro del paréntesis se colocan o bien variables individuales como ( x) y ( x), y entonces estamos en el ámbito de la lógica de predicados de primer orden; o bien, va

riables predicativas como ( F) y ( F) situándonos, con esto, en el contexto de la lógica de predicados de segundo orden.

La lógica cuantificacional aquí desarrollada es de primer orden,

pues los cuantificadores sólo contienen variables individuales.

Reglas de formación de fórmulas bien formadas

R.1. Cada variable predicativa seguida de una o más constantes

individuales es una proposición atómica.

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