Logica Formal

PRJ:MBR C,U RSO

DB LO,G J:CA

MATEMATICA

PATRICK SUPPES

SHIRLEY HILL

EDITORIAL REVERTÉ, B. A.

Barcelona .. Bogotá· Buenos Aires - Caracas· México

PRÓLOGO

Modernamente la Lógica se ha convertido en una materia no sólo profunda,

sino de gran amplitud y aplicación a otras Ciencias. Sólo desde hace algunos

años se han establecido relaciones sistemáticas entre la Lógica y la Matemática,

formulándose una teoría de inferencia completamente explícita que se

adecua a todos los ejemplos dpicos del razonamiento deductivo en Mate·

máticas y a las Ciencias empíricas. En la mente de todos los matemáticos

modernos está el concepto de axioma y la deducción de teoremas a partir

de axiomas. El propósito de este libro es introducir al estudiante en el mé·

todo deductivo de la Matemática moderna, a un nivel que, aun siendo

riguroso, sea lo suficientemente sencillo en presentación y contexto, para que

permita una fácil compreñsión.

No se puede poner en duda la importancia en la Matemática moderna,

de la teoría de la demostración y de la metodolo~ía en la deducción de teoremas

a partir de axiomas. Sin embargo, el desarrollo de la destreza en los

razonamientos deductivos, ha sido considerado como de interés secundario en

los planes de enseñanza de especialización matemática. El punto de vista

representado en este libro es el de que una enseñanza de lógica matemática

bien meditada y planeada, al principio de la carrera del estudiante le proporcionará

una base para estudios de Matemáticas más' profundos y penetrantes.

El objetivo del presente volumen comprende la teoría proposicional de

inferencia, inferencia con cuantificadores universales, y aplicaciones de la

teoría de la inferencia al desarrollo de la teoria elemental de grupos Conmutativos,

o la teocia de la adición, que es como se ha desarrollado en el

texto. Debido a las complejidades que introducen los cuantificadores existenciales

se ha dejado su consideración para el volumen siguiente, Segundo

curso de Lógica matemática. Se puede observar que la restricción a los cuantificadores

universales que se presentan al principio de fórmulas no es tan

severa como pudiera parecer. La mayor parte de las teorías matemáticas

elementales con las que se puede encontrar el estudiante pueden formularse

dentro de esta armazón. Esta restricción proporciona al estudiante una oportunidad

para aprender cómo se hacen demostraciones matemáticas rigurosas

y no triviales, sin adentrarse en las sutilezas que envuelven los cuantificadores

eXistenciales. Se ha insistido también mucho a lo largo del libro en la importancia

del problema de traducir a símbolos lógicos o matemáticos proposiciones

enunciadas en lenguaje corriente.

El presente libro es la cuarta versión de un canjunto denotas desarr~

Iladas en 1960-61 para ser utilizadas en una clase experimental de alumnos

v

VI PRÓLOGO

seleccionados de una escuela elemental. La segunda versión del texto se

utilizó en on~e clases de estudiantes seleccionados de la escuela elemental

en 1961-62. La tercera versión se utiliza experimentalmente en 1962-63 con

diez clases de ~studiantes seleccionados de la escuela elemental y 200 estudiantes

del «College» en un proyecto patrocinado conjuntamente por el

Office of Education y la National Science Foundation. La edición del libro

fue subvencionada por la Carnegie Corporation de Nueva York.

Se ha intentado escribir el libro de manera que lo puedan utilizar

los estudiantes con un margen de edad y habilidad muy amplio. La Lógica,

afortunadamente, es una de las materias que no requiere gran base o experiencia

para poder llegar a un buen adiestramiento. Por esta razón, un libro

de este tipo particular puede ser utilizado por una gran variedad de estudiantes.

La experiencia con las versiones citadas indica que el material que

contiene es razonablemente satisfactorio para los estudiantes seleccionados

de Segunda enseñanza y, por otra parte, no demasiado elemental para que

no pueda ser utilizado por alumnos de primer curso de la Universidad.

Creemos que este libro será útil a una gran diversidad de alumnos de Enseñanza

media y a las clases de Matemáticas de Selectivo de la Facultad. Está

en preparación el Segundo curso de Lógica matemática para aquellas clases

que dispongan de tiempo para una exposición más amplia de esta materia.

Agradec..emos a Mrs. Madeline Anderson su trabajo paciente y competente

de mecanografiar el manuscrito. Manifestamos nuestro mayor reconocimiento

a Mr. Frederick Binford por sus valiosas sugerencias y críticás,

quien se ha hecho también responsable de preparar la detallada Edición

para ~! maestro. Mr. Richard Friedberg hizo muchos comentarios y críticas

muy 'útiles al último borrador de manuscrito.

Universidad de Stanford

Stanford, California

Enero, 1963

PATRICK SUPPES

SHIRLEY HILL

INDICE ANALÍTICO

Prefacio

1. SIMBOLIZACIÓN DE PROPOSICIONES 1

1.1 Proposiciones

1.2 Términos de enlace 2

1.3 La forma de las proposiciones moleculares 5

1.4 Simbolización de proposiciones 10

15 Los términos de f".nlace y sus súnbolos 12

O 14

No 16

Sí... entonces ... 20

1.6 Agrupamiento y paréntesis 22

La negación de una proposición molecular 30

1.7 Eliminación

...